Задачи › Механическая энергия, консервативные системы

Рулон и трубка

  1. Рулон и трубка

    «Шаг в будущее» 2022/23, 9 кл.
    5/10

    Длинный тонкий рулон раскатан в лист и лежит на ровном горизонтальном полу. Длина рулона \(x\), ширина \(l\), толщина \(h\), плотность \(\rho\). К концу рулона приклеили трубку массы \(M\). К трубке приложили резкое усилие, в результате чего она покатилась. В итоге весь рулон плотно намотался на трубку, и в этот момент движение прекратилось. Чему равна начальная кинетическая энергия трубки? Внешний диаметр трубки ничтожен по сравнению с диаметром намотавшегося на неё рулона, а сам рулон нерастяжим, но изгибается без усилия.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Объём рулона при намотке не меняется, так что площадь поперечного сечения намотанного рулона равна \(xh\). Какую высоту поднимется центр масс системы при намотке?

    Ответ

    \(K = g\,(M + \rho x h l)\sqrt{\dfrac{x h}{\pi}}\).

    Решение

    По закону сохранения механической энергии начальная кинетическая энергия трубки идёт на подъём системы на высоту \(R\): \(K = (M + m)\,g\,R\), где \(m = \rho x h l\) — масса рулона. Объём рулона не меняется при намотке, поэтому \(\pi R^2 l = x h l\), откуда \[R = \sqrt{\frac{x h}{\pi}}.\] Подставляя, получаем \[K = g\,(M + \rho x h l)\sqrt{\frac{x h}{\pi}}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх