Задачи › Амперметры, вольтметры, мосты

Whatметр

  1. Whatметр

    ВсОШ 2024/25, 9 кл.
    5/10

    Экспериментатор Глюк нашёл на чердаке ваттметр и технический паспорт к нему. В паспорте была схема устройства ваттметра, приведённая на рисунке слева, а также было указано: «Ваттметр выводит на экран модуль произведения показаний амперметра и вольтметра, встроенных внутрь прибора. Контакты 1 и 3 подключены к амперметру с внутренним сопротивлением \(r_A = 5\text{ Ом}\), а контакты 2 и 4 — к вольтметру с внутренним сопротивлением \(R_V =\) ». К сожалению, от времени чернила выцвели, и Глюк не смог разобрать величину сопротивления вольтметра. Кроме того, на приборе не было видно подписей контактов.

    Рисунок

    Глюк, решив во всём разобраться, собрал цепь, схема которой изображена на рисунке справа. В цепь он включил идеальный источник постоянного напряжения и резистор сопротивлением \(R = 500\text{ Ом}\). Ваттметр, подключённый к цепи, показал значение \(P_1 = 100\text{ Вт}\). Затем Глюк вытащил ваттметр из цепи, повернул его на \(90^\circ\) и снова вставил в цепь. После этого прибор показал значение \(P_2 = 1{,}0\text{ Вт}\). Изображение ваттметра на обеих схемах соответствует его внешнему виду.

    1. Определите внутреннее сопротивление вольтметра \(R_V\), считая, что оно больше сопротивления амперметра (\(R_V > r_A\)).

    2. Можно ли, используя те же самые элементы, собрать цепь так, чтобы ваттметр показал значение \(P_3\) в диапазоне от 5 мВт до 20 мВт? Ответ подтвердите расчётами и приведите либо доказательство невозможности, либо одну схему, удовлетворяющую интервалу.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    При повороте на \(90^\circ\) амперметр и вольтметр меняются местами в цепи. Запишите показания ваттметра для обоих включений и возьмите их отношение — напряжение источника сократится; из двух вариантов соответствия оставьте тот, где \(R_V > r_A\).

    Ответ

    1) \(R_V = 50\text{ кОм}\);  2) можно: например, по схеме из решения (вольтметр последовательно с источником, амперметр параллельно резистору) \(P_3 = P_2(R + r_A)/R_V \approx 10\text{ мВт}\).

    Решение

    Необходимо проанализировать два возможных варианта подключения и рассчитать показания ваттметра для каждого из них. Обозначим напряжение на выводах идеального источника постоянного напряжения за \(U\).

    Рисунок

    В случае левой схемы показания амперметра (\(I_1\)) и вольтметра (\(U_1\)): \[\begin{cases} I_1 = \dfrac{U}{R + r_A};\\ U_1 = U. \end{cases}\] По условию показания ваттметра равны произведению показаний амперметра и вольтметра: \[P_1' = I_1U_1 = \frac{U^2}{R + r_A}.\] В случае правой схемы показания амперметра (\(I_2\)) и вольтметра (\(U_2\)): \[\begin{cases} I_2 = \dfrac{U}{r_A};\\ I_V = \dfrac{U}{R + R_V};\\ U_2 = I_VR_V = \dfrac{UR_V}{R + R_V}. \end{cases}\] Тогда показания ваттметра в рассмотренном случае: \[P_2' = I_2U_2 = \frac{U^2}{R + R_V}\cdot\frac{R_V}{r_A}.\] Отношение показаний ваттметра позволяет исключить напряжение источника. \[k = \frac{P_1'}{P_2'} = \frac{R + R_V}{R + r_A}\cdot\frac{r_A}{R_V}.\] Отметим, что индексы 1 и 2 для мощностей в формуле выше не обязаны соответствовать индексам в условии задачи, поскольку нам неизвестно, какая схема была собрана первой. Выразим искомое внутреннее сопротивление вольтметра: \[R_V = \frac{R}{k\dfrac{R + r_A}{r_A} - 1}.\] Подставляем числовые значения, учитывая два возможных варианта соответствия между индексами в условии и нашем решении:

    1. \(k = 100/1 = 100 \Rightarrow R_V \approx 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ Ом}\). Величина получилась меньше сопротивления амперметра, значит этот ответ неверный.

    2. \(k = 1/100 = 0{,}01 \Rightarrow R_V = 50\text{ кОм}\).

    Таким образом искомое внутреннее сопротивление вольтметра: \[R_V = 50\text{ кОм}.\]

    Рассмотрим схему, изображённую на рисунке.

    Рисунок

    Сила полного тока в цепи: \[I = \frac{U}{R_V + \frac{Rr_A}{R + r_A}}.\] С учётом неравенства \(R_V \gg R \gg r_A\) получим: \[I = \frac{U}{R_V + \frac{Rr_A}{R + r_A}} \approx \frac{U}{R_V}.\] Силу тока, протекающего через амперметр, с учётом неравенства, можно выразить следующим образом: \[I_A = I\cdot\frac{R}{R + r_A} \approx I = \frac{U}{R_V}.\] Показания вольтметра равны \(U_V = IR_V\), а показания ваттметра: \[P_3 = I_AU_V = I^2R_V = \frac{U^2}{R_V}; \quad U^2 = P_2(R + r_A) \Rightarrow P_3 = \frac{P_2(R + r_A)}{R_V} \approx 10\text{ мВт}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх