Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Цилиндр с проводящими слоями

  1. Цилиндр с проводящими слоями

    «Шаг в будущее» 2021/22, 8 кл.
    5/10

    На боковую поверхность непроводящего электрический ток цилиндра нанесли слой электропроводящего вещества, затем тонкий слой изоляции и снова слой проводящего вещества и т.д. — всего пять проводящих слоев. К торцам цилиндра прижали параллельные металлические пластины, на которые подали постоянное электрическое напряжение. Определите тепловую мощность \(P_5\) тока в самом внешнем (пятом) слое проводящего вещества, если в самом внутреннем (первом) слое она равна \(P_1 = 21\,\text{Вт}\). Радиус цилиндра \(10\,\text{мм}\), толщина каждого проводящего слоя равна \(1\,\text{мм}\), а изоляции — пренебрежимо мала. Примечание: площадь круга \(S = \pi r^2\), где \(r\) — радиус круга, \(\pi = 3{,}14\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Слои включены между пластинами параллельно, и сопротивление слоя обратно пропорционально площади его сечения. Площадь кольца — это разность площадей двух кругов.

    Ответ

    \(P_5 = 29\,\text{Вт}\).

    Решение

    Каждый слой — трубка длины \(l\) с одинаковым удельным сопротивлением \(\rho\); все слои подключены к одному напряжению \(U\) параллельно. Мощность \(i\)-го слоя \(P_i = U^2/R_i\), \(R_i = \rho l/S_i\), где \(S_i\) — площадь его сечения. Площадь первого слоя \(S_1 = \pi(r+h)^2 - \pi r^2 = \pi h(2r + h)\), пятого \(S_5 = \pi(r+5h)^2 - \pi(r+4h)^2 = \pi h(2r + 9h)\), где \(h = 1\) мм. Тогда \[\frac{P_5}{P_1} = \frac{S_5}{S_1} = \frac{2r + 9h}{2r + h}, \qquad P_5 = 21\ \text{Вт}\cdot\frac{20 + 9}{20 + 1} = 29\ \text{Вт}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх