Подъём или спуск?

Уравнения вращательного и поступательного движения относительно центра масс блока дают ускорение \(a_1\); подберите число скрепок, при котором блок почти неподвижен (\(a_1 = 0\)), и измерьте время спуска.

Пусть \(m_2\) — масса груза на втором конце нити, \(R\) — внешний радиус двойного блока. Уравнения динамики относительно центра масс, связь ускорений \(a_1 r = -a_2(R - r)\) и \(\beta = a_1/r\) дают \[a_1 = g\,\frac{m_1 r + m_2 r - m_2 R}{r\,\bigl(m_1(1+k) + m_2\bigr)}\qquad (1)\] (решение и относительно мгновенной оси вращения даёт тот же результат). Отсюда \[k = \frac{g\left(r + \dfrac{m_2}{m_1}(r - R)\right) - \left(1 + \dfrac{m_2}{m_1}\right)a_1 r}{a_1 r}.\] Эксперимент: при \(a_1 = 0\) блок неподвижен, \(m_1 = m_{20}\left(\dfrac{R}{r} - 1\right)\), где \(m_{20}\) — масса груза в этом опыте. Измерив время \(t\) спуска на высоту \(h\) при \(a_1 = 2h/t^2\), получаем \[k = g\left(1 - \frac{m_2}{m_{20}}\right)\frac{t^2}{2h} - \left(1 + \frac{m_2 r}{m_{20}(R-r)}\right)\qquad (2)\] По критериям организаторов значение \(k\) после усреднения попадает в диапазон \([10; 15]\).