Песок для стройки

Пусть ведро опустилось на \(H\), а подвижный блок поднялся вдвое меньше. Изменения силы натяжения и силы Архимеда, действующей на брусок, выразите через массу песка.

Обозначим через \(\Delta x\) изменение растяжения пружины от начального состояния до момента касания ведром земли, через \(\Delta h\) — изменение положения бруска относительно поверхности воды. Поскольку размер бруска много меньше размера бассейна, изменением уровня воды можно пренебречь. Положение подвижного блока изменилось на \(\Delta x + \Delta h\), при этом блок поднялся вдвое меньше, чем опустилось ведро: \[\frac{H}{2} = \Delta x + \Delta h .\] Песок Чебурашка сыплет медленно, поэтому силы в системе уравновешены. Сила натяжения нити изменилась на \(\Delta T = M_{\text{П}} g\), а сила, действующая со стороны подвижного блока на пружину, изменилась на \(2\Delta T\). Следовательно, \(k\Delta x = 2\Delta T\), откуда \[\Delta x = \frac{2 M_{\text{П}} g}{k} .\] С другой стороны, на столько же меняется сила, с которой брусок тянет пружину. Она меняется на величину силы Архимеда, действующей на объём бруска \(\Delta V = a^2 \Delta h\), поднявшийся из воды: \(\rho g a^2 \Delta h = 2\Delta T\), откуда \[\Delta h = \frac{2 M_{\text{П}}}{\rho a^2} .\] Подставляя в первое уравнение, получаем \[M_{\text{П}} = \frac{H}{4\left(\dfrac{g}{k} + \dfrac{1}{\rho a^2}\right)} = 24~\text{кг} .\]