Задачи › Относительность движения, сложение скоростей

Плот с барабанами

  1. Плот с барабанами

    Санкт-Петербургская 2015/16, 8 кл.
    5/10

    На плоту в вершинах равностороннего треугольника \(ABC\) стоят три одинаковых барабана, вращающихся на вертикальных осях (см. рис.). Барабан представляет собой два соосных цилиндра, скреплённых между собой, диаметр верхнего в два раза меньше, чем у нижнего (см. рис.). Вокруг верхних цилиндров барабанов \(A\) и \(B\) обернут канат, натянутый между берегами, ширина реки \(300\) м. Паромщик Кулибин приводит барабаны в движение, и плот движется с постоянной скоростью. На нижние цилиндры натянута гибкая лента длиной \(30\) м. К ленте прикреплена лампочка \(Л\). Аэронавт Фридман, находящийся высоко над рекой на неподвижном воздушном шаре, фотографирует ночью реку, пока плот плывёт от одного берега к другому (затвор камеры открыт всё это время, и получается один кадр). Как выглядит след, оставленный лампочкой на фотоснимке? Изменится ли картинка, если скорость плота не будет постоянной во времени? Диаметр цилиндров пренебрежимо мал по сравнению со стороной треугольника \(ABC\), вначале лампочка находится посередине стороны \(AB\). При вращении барабанов лента и канат движутся по цилиндрам без проскальзывания.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Скорость ленты относительно плота вдвое больше скорости плота; найдите проекции скорости лампочки на оси, связанные с плотом, и перейдите к скорости относительно берега.

    Ответ

    На фотоснимке след состоит из горизонтальных и вертикальных линий: вертикальных линий \(19\), и последняя из них вдвое короче остальных.

    Решение

    Чтобы плот начал двигаться, барабаны \(A\) и \(B\) надо вращать против часовой стрелки; скорость плота относительно земли обозначим \(V\). За один оборот барабана плот проходит расстояние \(\pi D\), где \(D\) — диаметр верхнего цилиндра. Нижний цилиндр вдвое больше, поэтому лента за один оборот проходит \(2\pi D\) — вдвое больше. Значит, скорость ленты в системе отсчёта плота по модулю равна \(2V\).

    В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^{\circ}\). Проекция скорости лампочки на ось \(OX\) при движении по стороне \(BC\) равна половине гипотенузы и направлена против движения: \(V_x = -V\). При движении по \(CA\) аналогично, только проекция на ось \(OY\) меняет направление. Для перехода в систему отсчёта земли к проекции скорости по оси \(OX\) нужно прибавить \(V\). Когда лампочка движется по стороне \(AB\), относительно земли она движется вдоль оси \(OX\) со скоростью \(3V\). Когда она движется по сторонам \(BC\) и \(CA\), скорость вдоль \(OX\) равна нулю, и лампочка движется вверх и вниз по \(OY\).

    Длина стороны \(AB\) составляет треть общей длины ленты и равна \(10\) м. По \(AB\) лампочка движется время \(t_{AB} = \dfrac{10}{2V}\), значит в системе отсчёта земли она пройдёт \(l = 3V\,t_{AB} = 15\) м. Поскольку размеры барабанов пренебрежимо малы, при движении по \(BC\) и \(CA\) перемещение по оси \(OX\) равно нулю, а по оси \(OY\) лампочка сначала проходит вверх, а затем вниз расстояние, равное высоте треугольника. Поэтому картинка на фотоснимке состоит из горизонтальных и вертикальных линий.

    Плот проходит путь, равный расстоянию между берегами за вычетом удвоенной длины стороны \(AB\), так как сам имеет размер и причаливает к берегу: \(L_{П} = 300 - 10 = 290\) м (по официальному решению: \(300 - AB\)). В системе отсчёта плота лампочка пройдёт в два раза больший путь \(L_{Л} = 580\) м, так как модуль её скорости всегда \(2V\). Число оборотов ленты: \[N = \frac{L_{Л}}{30} = 19\frac{1}{3} .\] Через одну треть оборота с начального положения лампочка будет на середине стороны \(BC\). На изображении будут видны \(19\) вертикальных линий, а последняя линия будет в два раза короче остальных.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх