Путь в бесконечность

Впервые вычислить эквивалентное сопротивление электрической цепи (см. рисунок), состоящей из очень большого числа звеньев, было предложено участникам I Международной олимпиады по физике в 1967 году. С тех пор эта задача стала классической. Сегодня же вам предстоит экспериментально исследовать, как зависит сопротивление данной цепи от числа звеньев в ней.

1. Определите сопротивления всех резисторов и проверьте, что все резисторы \(r\) и все резисторы \(R\) (\(r \ll R\)) имеют одинаковые сопротивления в пределах точности измерений мультиметра. Считайте погрешность мультиметра в этом и последующих пунктах равной трём единицам последнего разряда. Если есть резисторы \(R\), сопротивление которых отличается больше, чем на 1 %, попросите их заменить. Вычислите средние значения \(R\) и \(r\) и их погрешности.

2. Снимите зависимость эквивалентного сопротивления цепи (см. рисунок) \(\Omega(n)\) от числа звеньев \(n\) для \(n = 1, 2, \dots, 7\). Для \(n = 7\) начертите Вашу схему подключения резисторов, проводов и мультиметра на макетной плате. Для этого Вам выдан бланк с напечатанной схемой макетной платы. Резисторы сопротивлением \(R\) обозначайте на схеме в виде закрашенных прямоугольников, а резисторы сопротивлением \(r\) — в виде незакрашенных. Если схему для \(n = 7\) собрать не удалось, то начертите схему подключения для цепи с максимальным числом звеньев.

   Без начерченной схемы Ваши экспериментальные данные и расчёты не будут оцениваться.

3. Используя средние значения \(r\) и \(R\) из первого пункта, рассчитайте теоретическое значение \(\Omega(\infty)\) сопротивления цепи, состоящей из очень большого (\(n \gg 1\)) числа звеньев.

4. Нанесите точки снятой зависимости \(\Omega(n)\) на график. Соедините эти точки гладкой линией. На этом же графике постройте горизонтальную прямую \(\Omega = \Omega(\infty)\). Это тот предел (горизонтальная асимптота), к которой должны стремиться точки измеренной зависимости \(\Omega(n)\).

5. В приближении \(n^2 r \ll R\) (считайте, что данное приближение верно для всех \(n \leqslant 7\)) зависимость эквивалентного сопротивления от количества звеньев принимает вид \(\Omega(n) = F(R, n) + f(r, n)\), где \(f(r, n)\) — небольшая добавка, равная \[f(r, n) = \frac{(2n+1)(n+1)}{6n}\,r,\] а \(F(R, n)\) — основной член, зависящий только от \(R\) и \(n\). Чему равна функция \(F(R, n)\)?

6. С учётом теоретической зависимости, полученной в предыдущем пункте, подберите такие координаты, в которых измеренная Вами зависимость \(\Omega(n)\) будет линейной. Постройте график линеаризованной зависимости.

7. Из графика, построенного в предыдущем пункте, определите сопротивления \(r\) и \(R\) и их погрешности. Сравните полученные значения \(R\) и \(r\) с результатами прямых измерений в пункте 1.