Шарик на краю стола

Шарик отрывается от поверхности в той точке, где сила реакции опоры обращается в ноль. Запишите второй закон Ньютона в радиальном направлении и закон сохранения энергии для движения по поверхности шарика.

Трением пренебрегаем, и поэтому считаем, что шарик не раскручивается. В момент отрыва шарика от стола сила реакции опоры равна нулю, т.е. на шарик действует только сила тяжести. В этот момент движение шарика можно представить как вращение вокруг края стола со скоростью центра шарика \(v\). В проекциях на радиус второй закон Ньютона даёт: \(Ma = Mg\cos\varphi\), где \(M\) — масса шарика, \(a\) — центростремительное ускорение, \(a = \dfrac{v^2}{R}\).

Скорость может быть найдена из закона сохранения энергии: \(Mg\,\Delta h = \dfrac{Mv^2}{2}\), где \(\Delta h = R - R\cos\varphi\) (см. рис.).

Из этих соотношений находим: \(\cos\varphi = \dfrac{2}{3}\). Скорость направлена в этот момент перпендикулярно радиусу шарика. Её горизонтальная составляющая равна \(v\cos\varphi\). Так как высота стола по условию много больше радиуса шарика, вертикальной составляющей начальной скорости и величиной \(\Delta h\) можно пренебречь, и время падения \(t\) найти из формулы \(H = \dfrac{gt^2}{2}\). Тогда расстояние от края стола по горизонтали, на котором упадёт шарик, \(S = (v\cos\varphi)\,t = \dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{RH}{3}}\).