Цепь из резисторов R, 2R, 3R

Используйте симметрию цепи: токи через пары симметричных резисторов равны. Затем составьте правило токов для узла и правило напряжений для одного контура.

Пусть при приложении к цепи напряжения \(U\) через резисторы \(R\), \(2R\) и \(3R\) текут токи \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\) соответственно (из симметрии цепи токи через резисторы \(2R\) и \(3R\) слева и справа одинаковы). Если направление тока \(I_1\) выбрано неверно, из решения системы уравнений он получится отрицательным.

Поскольку сумма втекающих в любой узел токов равна сумме вытекающих, \[I_3 + I_1 = I_2 .\] Для замкнутого участка цепи, содержащего резисторы \(2R\), \(R\) и \(3R\) слева, напряжение на резисторах \(2R\) и \(R\) должно быть равно напряжению на резисторе \(3R\): \[2I_2 R + I_1 R = 3I_3 R \quad\Rightarrow\quad 2I_2 + I_1 = 3I_3 .\] Решая эту систему относительно \(I_2\) и \(I_3\), найдём \[I_2 = 4I_1, \qquad I_3 = 3I_1 .\] Для напряжения на цепи \[U = I_2\cdot 2R + I_3\cdot 3R = 17\,I_1 R ,\] откуда ток через средний резистор \[I_1 = \frac{U}{17R} .\]

Мощность, выделяемая в цепи, по закону Джоуля–Ленца. Общий ток через цепь \[I = I_2 + I_3 = 7I_1 = \frac{7U}{17R},\] поэтому мощность \(P_1 = UI = \dfrac{7U^2}{17R}\).

Если средний резистор перегорит, сопротивление цепи станет равным \(\dfrac{5R}{2}\), и выделяемая мощность \[P_2 = \frac{U^2}{5R/2} = \frac{2U^2}{5R} .\] Отношение мощностей \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{35}{34} ,\] т.е. мощность уменьшится в \(\dfrac{35}{34}\) раза.