Магнитная лента на катушку

Найдем число витков ленты на приемной катушке (после того, как она будет полностью намотана на катушку). Если радиус катушки с лентой равен \(R\), то число витков есть \[N = \dfrac{R-r}{d}\tag{*}\] С другой стороны, длину ленты можно найти как (с учетом того, что она — тонкая) \[L = 2\pi r + 2\pi(r+d) + 2\pi(r+2d) + \ldots 2\pi(r+Nd) = 2\pi rN + 2\pi d(1+2+\ldots+N) = 2\pi rN + \pi dN^2 = \pi N(R+r)\] (Отметим, что получившийся результат является естественным. Длина ленты равна произведению числа витков на среднюю длину одного витка, которая из-за линейной зависимости длины витка от радиуса равна среднему арифметическому самого длинного — \(2\pi R\) — и самого короткого — \(2\pi r\) — витка). Отсюда с учетом формулы (*) находим радиус намотанной катушки \[L = \dfrac{\pi\left(R^2-r^2\right)}{d}\quad\Rightarrow\quad R = \sqrt{r^2+\dfrac{dL}{\pi}}\] а затем по формуле (*) и число витков намотанной ленты \[N = \dfrac{\sqrt{r^2+\dfrac{dL}{\pi}} - r}{d} = \dfrac{\sqrt{\pi r^2+dL} - \sqrt\pi\,r}{\sqrt\pi\,d}\] Поскольку катушка вращается с постоянной угловой скоростью, каждый оборот она делает за одно и то же время, и потому полное время наматывания равно \[t = N\dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\left(\sqrt{\pi^2r^2+\pi dL} - \pi r\right)}{d\omega}\]