Нагревательный элемент-параллелепипед

Пусть длины ребер элемента равны \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда сопротивление элемента, когда мы подключаем шины к грани \(a\times b\), равно \[R_{a\times b} = \dfrac{\rho c}{ab}\] где \(\rho\) — удельное сопротивление материала элемента. Аналогично \[R_{b\times c} = \dfrac{\rho a}{bc}\quad\text{и}\quad R_{a\times c} = \dfrac{\rho b}{ac}\] Отсюда находим соответствующие мощности \[P_{a\times b} = \dfrac{U^2}{R_{a\times b}} = \dfrac{U^2ab}{\rho c},\quad P_{b\times c} = \dfrac{U^2}{R_{b\times c}} = \dfrac{U^2bc}{\rho a},\quad P_{a\times c} = \dfrac{U^2}{R_{a\times c}} = \dfrac{U^2ac}{\rho b}\] Из условия находим \[\dfrac{P_{a\times b}}{P_{b\times c}} = \dfrac{a^2}{c^2} = \dfrac13,\quad \dfrac{P_{b\times c}}{P_{a\times c}} = \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac37\] Из этих уравнений и условия \(abc = V\) находим \[a = \dfrac{\sqrt[6]{7}}{\sqrt[3]{3}}\sqrt[3]{V},\quad b = \dfrac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{7}}\sqrt[3]{V},\quad c = \sqrt[6]{21}\sqrt[3]{V}\]