Гонцы царя Салтана

Найдите время, за которое первый гонец доедет до князя, и расстояние, на которое за это время сместится корабль. Затем повторите расчёт для второго гонца, у которого начальное расстояние до князя меньше на \(v\,\Delta t\).

Пусть один гонец отправляется в тот момент, когда расстояние от корабля царя Салтана до города князя Гвидона равно \(l\). Тогда этот гонец доедет до князя за время \(t = \dfrac{l}{4v}\). Корабль царя Салтана за это время проедет расстояние \(\Delta l = vt = \dfrac{l}{4}\). Значит, расстояние между гонцом и царём Салтаном в этот момент будет составлять \(l_1 = l - \Delta l = \dfrac{3}{4}l\).

Развернувшийся гонец прибудет к кораблю царя Салтана через время \[t' = \frac{\frac{3l}{4}}{v + 4v} = \frac{3l}{20v}\] после разворота, или через время \[t_1 = t + t' = \frac{2l}{5v}\] после старта. Таким образом, первый гонец возвратится через время \(t_1\) после своего старта.

Найдём теперь время возвращения второго гонца. Поскольку второй гонец отправится через время \(\Delta t\) после первого, расстояние между царём Салтаном и Гвидоном в этот момент составляет \(l' = l - v\,\Delta t\). Поэтому время возвращения второго гонца (после своего старта) можно найти по той же формуле, если заменить в ней \(l\) на \(l'\): \[t_2 = \frac{2\left(l - v\,\Delta t\right)}{5v} .\] Второй гонец возвратится через время \(t_2\) после своего старта, или через время \(\Delta t + t_2\) после старта первого. Поэтому интервал времени между возвращениями гонцов равен \[\Delta\tau = \left(\Delta t + t_2\right) - t_1 = \Delta t - \frac{2\,\Delta t}{5} = \frac{3}{5}\,\Delta t .\]