Три пружины и точки соединения

Масса пружин равна нулю, значит, сила упругости во всех пружинах одинакова. Сумма удлинений всех пружин равна перемещению точки \(C\).

При смещении конца правой пружины она растягивается, и в ней возникает сила упругости, которая растягивает вторую пружину. Поэтому и во второй пружине возникнет сила упругости, растягивающая ближайшую к стенке пружину.

Поскольку масса пружин равна нулю, сумма сил, действующих на каждую пружину, должна равняться нулю, поэтому сила упругости всех трёх пружин должна быть одинаковой. Следовательно, для удлинений пружин справедливы соотношения, следующие из закона Гука: \[k\,l_k = 2k\,l_{2k} = 3k\,l_{3k} ,\] где \(l_k\), \(l_{2k}\) и \(l_{3k}\) — удлинения пружин с коэффициентами жёсткости \(k\), \(2k\) и \(3k\) соответственно. Из этой формулы следует, что удлинения пружин с жёсткостью \(2k\) и \(3k\) в два и три раза меньше удлинения пружины с жёсткостью \(k\): \[l_{2k} = \frac{1}{2}\,l_k, \qquad l_{3k} = \frac{1}{3}\,l_k .\] С другой стороны, сумма удлинений всех трёх пружин равна перемещению конца пружины \(C\), который тянут со скоростью \(v\). Поэтому для удлинений пружин к моменту времени \(t\) имеем \[l_k + l_{2k} + l_{3k} = vt .\] Из этого уравнения находим \[l_k = \frac{6vt}{11}, \qquad l_{2k} = \frac{3vt}{11}, \qquad l_{3k} = \frac{2vt}{11} .\] Точка \(A\) за время \(t\) переместилась на расстояние \(l_k\), поэтому её скорость равна \(v_A = \dfrac{6}{11}\,v\). Точка \(B\) за это время переместилась на расстояние, равное сумме удлинений пружины с жёсткостью \(k\) и пружины с жёсткостью \(2k\): \(x_B = l_k + l_{2k} = \dfrac{9vt}{11}\). Отсюда её скорость \(v_B = \dfrac{9}{11}\,v\).