Куски глины разной плотности

Подумайте, какой кусок должен быть отрезан, чтобы средняя плотность каждого тела росла. Средняя плотность отрезанного куска должна лежать между плотностями тел.

Такая ситуация возможна. Тела неоднородны, у них есть кусочки со средней плотностью, большей и меньшей их средней плотности. Поэтому если отрезать от тела со средней плотностью \(2\rho\) кусочек с плотностью, меньшей его средней плотности, то средняя плотность этого тела возрастёт. Если эта плотность будет больше средней плотности второго тела \(\rho\), то и у второго тела возрастёт средняя плотность. Найдём плотность отрезанного кусочка, при которой возрастание плотности первого и второго тела будет одинаковым.

Пусть объём каждого тела равен \(V\). Тогда их массы равны \(m_1 = 2\rho V\), \(m_2 = \rho V\). Объём отрезанного кусочка равен \(V/10\). Пусть его плотность \(\rho_0\). Тогда масса этого кусочка \(\rho_0 V/10\). Следовательно, массы и объёмы тел после отрезания этого кусочка от первого и присоединения его ко второму равны \[m_1' = 2\rho V - \frac{\rho_0 V}{10}, \quad V_1' = \frac{9V}{10}, \qquad m_2' = \rho V + \frac{\rho_0 V}{10}, \quad V_2' = \frac{11V}{10} .\] Поэтому средние плотности тел после отрезания-добавления кусочка равны \[\rho_1' = \frac{2\rho - \rho_0/10}{9/10}, \qquad \rho_2' = \frac{\rho + \rho_0/10}{11/10} .\] Следовательно, средняя плотность первого тела возрастёт на \[\Delta\rho_1 = \rho_1' - 2\rho = \frac{2\rho - \rho_0}{9} ,\] а средняя плотность второго тела возрастёт на \[\Delta\rho_2 = \rho_2' - \rho = \frac{\rho_0 - \rho}{11} .\] Поскольку по условию эти два увеличения плотности должны быть равны, то \[\frac{2\rho - \rho_0}{9} = \frac{\rho_0 - \rho}{11} .\] Решая это уравнение, получим \[\rho_0 = \frac{31}{20}\,\rho = 1{,}55\,\rho .\] Как и ожидали, средняя плотность отрезанного кусочка меньше средней плотности первого тела и больше средней плотности второго.