Нить на гвозде и стержне

Запишите условие равновесия стержня: сумма горизонтальных проекций сил натяжения на его верхний конец равна нулю.

Поскольку участок нити от крючка до гвоздя натянут, а нить нерастяжима, при натягивании нити стержень будет оставаться вертикальным. Но чтобы стержень оставался вертикальным, сумма горизонтальных проекций сил натяжения, действующих на его конец, должна равняться нулю. Отсюда получаем (см. рисунок) \[T = T_1\cos\alpha,\] где \(T\) — сила натяжения горизонтального участка нити (равная внешней силе \(F\)), \(T_1\) — сила натяжения участка нити от крючка до гвоздя, \(\alpha\) — угол наклона этого участка нити к горизонту (поскольку нить намотана на гвоздь, силы натяжения этих участков нити не обязаны быть одинаковыми).

Отсюда следует, что \(T_1 > T\), и, следовательно, при натягивании горизонтального участка нити её наклонный участок натягивается сильнее и быстрее достигнет предельно допустимой силы, которую выдерживает нить. Поэтому наклонный участок нити порвётся первым.

Если нить выдерживает максимальную силу натяжения \(T_0\), то наклонный участок нити порвётся, когда к горизонтальному участку нити будет приложена внешняя сила \[F = T_0\cos\alpha.\] Поскольку расстояние от крючка до стержня вдвое меньше длины стержня, то длина наклонного участка нити \(l\) равна \[l = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}\,x,\] где \(x\) — расстояние от крючка до стержня. Поэтому \[\cos\alpha = \frac{x}{l} = \frac{1}{\sqrt{5}}.\] В результате получаем окончательно значение силы, при которой порвётся нить: \[F = \frac{T_0}{\sqrt{5}}.\]