Контейнеры на тросах под водой

Запишите силы натяжения тросов в воздухе и в воде через плотности контейнеров и силу Архимеда, затем составьте отношения этих сил.

Пусть масса верхнего контейнера \(m_1\), плотность \(\rho_1\), нижнего — соответственно \(m_2\) и \(\rho_2\), плотность воды — \(\rho_0\). Поскольку веса верхнего и нижнего контейнеров в воде будут следующими \[P_1 = (\rho_1 - \rho_0)gV_1, \qquad P_2 = (\rho_2 - \rho_0)gV_2,\] где \(V_1\) и \(V_2\) — объёмы верхнего и нижнего контейнеров, то сила натяжения троса, связывающего контейнеры, уменьшится в \[k = \frac{\rho_2 gV_2}{(\rho_2 - \rho_0)gV_2} = \frac{\rho_2}{\rho_2 - \rho_0}\] раз. Отсюда \[\rho_2 = \frac{k\rho_0}{k - 1} = 4333\ \text{кг/м}^3.\] Найдём теперь плотность верхнего контейнера. Для силы натяжения верхнего троса на воздухе (с учётом того, что сила натяжения верхнего троса в два раза больше силы натяжения троса, связывающего контейнеры) имеем \[T_1 = \rho_1 gV_1 + \frac{1}{2}T_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}T_1 = \rho_1 gV_1.\] Для силы натяжения этого троса в воде имеем аналогично \[\frac{T_1}{n} = (\rho_1 - \rho_0)gV_1 + \frac{1}{k}\cdot\frac{1}{2}T_1 \quad\Rightarrow\quad T_1\,\frac{2k - n}{2kn} = (\rho_1 - \rho_0)gV_1.\] Деля формулу (**) на формулу (*), получим \[\frac{2k - n}{kn} = 1 - \frac{\rho_0}{\rho_1}.\] Откуда находим \[\rho_1 = \frac{nk\rho_0}{nk - 2k + n} = 9750\ \text{кг/м}^3.\]