«Фонарь Фарадея»

В фонаре Фарадея аккумулятор заряжается благодаря подвижному магниту, периодически пролетающему через катушку индуктивности. Чтобы фонарь заряжался, его нужно трясти в руке, чтобы магнит быстро летал туда-сюда сквозь катушку. На рис. ниже показана упрощённая схема фонаря. ЭДС аккумулятора равна \(\mathcal{E} = 3{,}6\) В. Катушка состоит из \(n = 3000\) витков проволоки, её внутренний радиус чуть больше радиуса магнита, индуктивность и активное сопротивление равны: \(L = 0{,}1\) Гн и \(R = 50\) Ом соответственно. Диаметр цилиндрического магнита и его длина равны: \(d = 15\) мм и \(h = 23\) мм. Длина катушки равна длине магнита \(h\).

Пусть фонарь трясут с частотой \(\nu = 4\) Гц. Магнит движется в пластиковой трубке длиной \(H = 12{,}3\) см. Для оценок, которые требуется сделать в этой задаче, предлагается считать, что магнит в трубке совершает гармонические колебания с амплитудой \(0{,}5(H - h)\), диоды — идеальные, внутреннее сопротивление аккумулятора и проводов много меньше сопротивления катушки \(R\).

A. Вычислите приближённо максимальную ЭДС индукции и максимальную ЭДС самоиндукции в катушке (по модулю). Найдите отношение этих величин. Убедитесь, что одна из них много больше другой.

B. Какое примерно число раз магнит должен пролететь сквозь катушку, чтобы в аккумуляторе накопилась энергия \(E = 50\) Дж?

C. Определите приближённо отношение времени зарядки (тряски) ко времени работы без тряски, если потребляемая светодиодом от аккумулятора мощность равна \(P = 0{,}5\) Вт.