Стержень в стакане

Стакан устойчив, если проекция центра тяжести стакана со стержнем на стол попадает внутрь дна. Найдите положение центра тяжести системы.

Если проекция центра тяжести стакана со стержнем на горизонтальную плоскость попадает внутрь дна стакана, то он будет стоять. Если нет, опрокинется. Найдём положение центра тяжести стакана со стержнем.

Поскольку стержень и стакан однородны, то центры тяжести этих тел находятся в их геометрических центрах (посередине). Поэтому проекция центра тяжести стакана со стержнем на горизонтальную плоскость будет находиться слева от точки А (и стакан будет в равновесии), если \[MR > m\left(\frac{l}{2}\cos\alpha - 2R\right),\] где \(R\) — радиус стакана, \(l\) — длина стержня, \(\alpha\) — угол наклона стержня к горизонту. С другой стороны, поскольку внутри стакана находится пятая часть длины стержня, то \[\cos\alpha = \frac{2R}{l/5} = \frac{10R}{l}.\] Отсюда и из полученного неравенства получаем условие равновесия стакана \[MR > 3mR \quad\text{или}\quad m < \frac{M}{3}.\]