Две пружины с общей точкой

Пружины невесомы, поэтому силы упругости в них в любой момент одинаковы. Как тогда связаны удлинения пружин?

\(v_0 = \dfrac{v}{3}\), направлена в сторону более жёсткой пружины.

Так как пружины невесомы, сумма внешних сил, действующих на каждый элемент пружин, должна равняться нулю. В частности, равна нулю сумма сил, действующих на мысленно выделенный кусочек двух пружин, содержащий точку их соединения. Поэтому силы упругости пружин одинаковы в любой момент времени. Это значит, что удлинение пружины с жёсткостью \(k\) в любой момент времени вдвое больше удлинения пружины с жёсткостью \(2k\). Поэтому точка соединения пружин движется в сторону более жёсткой пружины: если бы она стояла на месте, удлинения пружин были бы одинаковы, а у жёсткой пружины оно меньше.

Пусть перемещение точки соединения пружин равно \(x\). Тогда удлинение пружины с жёсткостью \(k\) равно \(vt + x\), пружины с жёсткостью \(2k\) — \(vt - x\). Поскольку удлинения пружин отличаются вдвое, \[\frac{1}{2}\,(vt + x) = vt - x.\] Отсюда \(x = \dfrac{1}{3}\,vt\), и скорость точки соединения \[v_0 = \frac{x}{t} = \frac{1}{3}\,v.\] Направлена эта скорость в сторону более жёсткой пружины.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.