Преломление звука

Подсказка

Скорость звука находится методом размерностей и зависит от температуры как \(\sqrt T\). Луч в неоднородной среде подчиняется закону преломления с «звуковым» показателем, а для ветра рассматривайте поворот фронта из-за разной скорости его верхней и нижней частей.

Ответ

1.1) \(\alpha=\tfrac12\), \(\beta=-\tfrac12\); 1.3) \(c=c_0\sqrt{1+\Delta T/T_0}\); 2.2) \(c=c_0\sqrt{1+\beta z}\), \(\beta=-3{,}4\cdot10^{-5}\) м\(^{-1}\); 2.5) \(z=-\tfrac{\beta}{4}x^2+\alpha_0x\); 2.6) примерно \(0{,}49\) км.

Решение

Часть 1. Скорость звука в воздухе.

1.1 Подставим размерности величин, входящих в формулу для скорости звука

\[c = A P^{\alpha} \rho^{\beta}\tag{1}\]

И запишем условия совпадения размерностей:

\[\left[\text{м}\cdot\text{с}^{-1}\right] = \left[\frac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^{2}}\right]^{\alpha} \left[\frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}\right]^{\beta} = \left[\text{кг}\right]^{\alpha + \beta} \left[\text{м}\right]^{-\alpha - 3\beta} \left[\text{с}\right]^{-2\alpha}\tag{2}\]

\[\begin{aligned} \alpha + \beta &= 0 \\ -\alpha - 3\beta &= 1 \\ -2\alpha &= -1 \end{aligned}\tag{3}\]

Решение этой системы имеет вид

\[\alpha = \frac{1}{2}; \quad \beta = -\alpha = -\frac{1}{2}.\tag{4}\]

Следовательно, формула для скорости звука следующая:

\[c = A \sqrt{\frac{P}{\rho}}.\tag{5}\]

1.2 Из уравнения состояния идеального газа

\[PV = \frac{m}{M} RT\tag{6}\]

следует, что

\[\frac{P}{\rho} = \frac{R}{M} T.\tag{7}\]

Поэтому зависимость скорости звука от температуры описывается формулой

\[c = A \sqrt{\frac{P}{\rho}} = A \sqrt{\frac{R}{M} T}.\tag{8}\]

1.3 Подставим указанное выражение для температуры и преобразуем его

\[c = A \sqrt{\frac{R}{M} T} = A \sqrt{\frac{R}{M} (T_{0} + \Delta T)} = A \sqrt{\frac{R}{M} T_{0}} \sqrt{1 + \frac{\Delta T}{T_{0}}} = c_{0} \sqrt{1 + \frac{\Delta T}{T_{0}}}.\tag{9}\]

Здесь \(c_{0} = A \sqrt{\frac{R}{M} T_{0}}\) - скорость звука при температуре \(T_{0}\).

Часть 2. Распространение звука в неоднородно нагретой атмосфере.

2.1 Если температура воздуха изменяется с высотой, то соответственно изменяется и скорость звука, причем эта зависимость описывается формулой

\[T = T_{0} + \gamma z \quad \Rightarrow \quad c = c_{0} \sqrt{1 + \frac{\gamma}{T_{0}} z}\tag{10}\]

Известный закон преломления света является следствием его волновых свойств, поэтому его можно обобщить на любые волновые процессы. Это можно доказать, например, используя принцип Гюйгенса. Изменение скорости распространения волны в оптике принято описывать, вводя показатель преломления среды. По аналогии со светом можно ввести «звуковой» показатель преломления.

При температуре \(T_{0}\) показатель преломления будем считать равным 1, тогда зависимость показателя преломления от высоты имеет вид

\[n = \frac { c _ { 0 } } { c } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \displaystyle \frac { \gamma } { T _ { 0 } } z } }\tag{11}\]

При заданном определении показателя преломления, закон преломления звука будет иметь вид

\[n \cos \alpha = \cos \alpha _ { 0 } .\tag{12}\]

Здесь \(\alpha\) - угол между звуковым лучом и горизонтом.

Используя этот закон и выражение (11) для зависимости показателя преломления от высоты, можно указать качественное поведение звуковых лучей. Если температура воздуха возрастает с высотой \((\gamma > 0)\), то показатель преломления убывает – в этом случае звуковые лучи, преломляясь, изгибаются вниз. Некоторые из них даже могут достичь поверхности земли (см. рис). В противном случае \((\gamma < 0)\) – лучи изгибаются вверх. Отметим, что именно эта ситуация чаще встречается в атмосфере.

2.2 При заданных условиях зависимость скорости звука от высоты имеет вид

\[c = c _ { 0 } \sqrt { 1 + \frac { \gamma } { T _ { 0 } } z } = c _ { 0 } \sqrt { 1 + \beta z }\tag{12}\]

Численные значения параметров в этой формуле равны

\[c _ { 0 } = 3 4 0 \frac { \text{ м} } { c } .\tag{13}\]

\[\gamma = \frac { \Delta T } { \Delta z } = \frac { - 1 { , } 0 K } { 1 0 0 \text{ м} } = - 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \frac { K } { \text{ м} } , \text{следовательно.}\]

\[\beta = \frac { \gamma } { T _ { 0 } } = - 1 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \frac { K } { \text{ м} } \frac { 1 } { 2 9 3 K } = - 3 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \text{ м} ^ { - 1 } .\tag{14}\]

2.3 Уравнение параболы, проходящей через начало координат, в общем виде задается функцией

\[z = a x ^ { 2 } + b x .\tag{15}\]

2.4 Производная от функции (15) равна

\[z ^ { \prime } = 2 a x + b\tag{16}\]

В это выражение следует подставить значение \(x\), выраженное через \(z\). Для зависимости \(z(x)\) надо решить уравнение

\[a x ^ { 2 } + b x - z = 0 .\tag{17}\]

Из которого следует, что

\[x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } + 4 a z } } { 2 a }\tag{18}\]

Подставляя это выражение в формулу (16), получим

\[z ^ { \prime } = \pm \sqrt { b ^ { 2 } + 4 a z } \ .\tag{19}\]

Два значения производной соответствуют двум ветвям параболы, т.е. при \(x > 0\) следует брать положительный корень, при \(x < 0\) - отрицательный. Таким образом, если производная от функции описывается уравнением (19), то его решение при нулевых начальных условиях есть функция (15)

2.5 Для расчета траектории луча \(z(x)\) воспользуемся законом преломления

\[n \cos \alpha = \cos \alpha _ { 0 }\tag{20}\]

В котором зависимость показателя преломления от высоты задается функцией

\[n = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \beta \, z } }\tag{21}\]

Согласно определению угла \(\alpha\), его тангенс равен производной от искомой функции \(z(x)\). Значение тангенса угла найдем с помощью тригонометрических формул

\[\operatorname { t g } \alpha = { \sqrt { { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha } } - 1 } } = { \sqrt { { \frac { n ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } - 1 } } = { \sqrt { \frac { n ^ { 2 } - 1 + \left( 1 - \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \right) } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } } = { \sqrt { \operatorname { t g } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } + { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } } } \ .\tag{22}\]

Нам требуется найти приближенное уравнение траектории (в квадратичном приближении). Для этого достаточно подкоренное упростить с помощью приближенных формул, считая \(z\) (точнее \(\beta z\)) и \(\alpha\) малыми величинами и, оставляя в них только первый порядок. В этом приближении

\[{ \frac { n ^ { 2 } - 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha _ { 0 } } } \approx { \frac { 1 } { 1 + \beta \, z } } - 1 \approx ( 1 - \beta \, z ) - 1 = - \beta \, z \ .\tag{23}\]

Тогда уравнение для траектории луча приобретает вид

\[z ^ { \prime } = \sqrt { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - \beta z } \ ,\tag{24}\]

который совпадает с уравнением (19). Поэтому решение этого уравнения задается функцией

\[z = - \frac { \beta } { 4 } x ^ { 2 } + \alpha _ { 0 } x\tag{25}\]

Так как параметр \(\beta < 0\), то ветви параболы оказываются направленными вверх — звук «уходит» ввысь!

2.6 Звуковые лучи, выходящие из источника под разными углами \(\alpha _ { 0 }\) являются параболами с одним коэффициентом при \(x^2\), поэтому самая «нижняя» парабола есть луч вышедший горизонтально (\(\alpha _ { 0 } = 0\)). Поэтому для определения расстояния, на котором луч проходит на высоте \(h\) необходимо решить уравнение

\[h = - \frac { \beta } { 4 } x ^ { 2 } \ ,\tag{26}\]

из которого находим

\[x = { \sqrt { - { \frac { 4 h } { \beta } } } } = { \sqrt { \frac { 4 \cdot 2 { , } 0 \, \text{ м} } { 3 { , } 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, \text{ м} ^ { - 1 } } } } = 0 { , } 4 9 \cdot 1 0 ^ { 3 } \, \text{ м} \ .\tag{27}\]

Заметим, что на больших расстояниях не будет слышен звук даже от мощного источника (например, взрыва), потому что звуковые волны уходят вверх. Дифракцией звуковых волн в данной задаче пренебрегаем.

Часть 3. Не кричите против ветра!

3.1 При наличии ветра скорость распространения звука зависит от направления (можно сказать, что среда является анизотропной). Поэтому закон преломления в форме (12) применять нельзя. В таком случае оказывается удобным рассматривать изменение волновых поверхностей (фронтов) – поверхностей, которые звуковые лучи пересекаю нормально. Рассмотрим участок волнового фронта \(AB\), распространяющегося приблизительно по направлению ветра. Так как скорость ветра возрастает с высотой, то верхняя часть фронта будет смещаться быстрее нижней, поэтому лучи нормальные к этому фронту будут отклоняться вниз. При распространении звука против ветра ситуация обратная – верхняя часть фронта движется медленнее, поэтому в этом случае лучи отклоняются вверх. Аналогичная ситуация будет реализовываться и для других лучей: при движении по ветру они отклоняются вниз (прижимаются к земле), при распространении против ветра лучи отклоняются вверх.

3.2 Опишем «поворот» волнового фронта более подробно.

Рассмотрим луч, распространяющийся на высоте \(z\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Изобразим участок волнового фронта \(AB\) шириной \(2h\). Согласно подсказке, сделанной в

условии задачи скорость фронта равна сумме скоростей звука в неподвижном воздухе и нормальной составляющей скорости ветра, поэтому скорость смещения точек фронта равна

\[c^{\prime}=c+v \cos \alpha .\tag{28}\]

Только необходимо учесть, что разные точки фронта находятся на разной высоте, поэтому они движутся с разной скоростью. Потому, что скорость ветра зависит от высоты - \(v(z)=v_{0}+\beta z\) . Крайние точки выбранного участка фронта смещены относительно его середины на величину \(\Delta z=h \cos \alpha\). Поэтому скорости ветра в этих точках равны

\[v_{\pm}=v_{0} \pm \beta h \cos \alpha,\tag{29}\]

где \(v_{0}\) - скорость ветра на высоте \(z\). За малый промежуток времени \(\Delta t\) смещения крайних точек задаются выражениями

\[\Delta S_{\pm}=\left(c+v_{\pm} \cos \alpha\right) \Delta t .\tag{30}\]

Из рисунка следует, что различие скоростей движения этих точек приведет к повороту фронта на угол

\[\begin{aligned} \Delta \alpha & =-\frac{\left(c+v_{+} \cos \alpha\right) \Delta t-\left(c+v_{-} \cos \alpha\right) \Delta t}{2 h}=-\frac{\left(v_{+}-v_{-}\right) \cos \alpha \Delta t}{2 h}= \\ & =-\frac{2 \beta h \cos ^{2} \alpha \cdot \Delta t}{2 h}=-\beta \cos ^{2} \alpha \cdot \Delta t \end{aligned}\tag{31}\]

За тот же промежуток времени центр выбранного участка сместится по высоте на величину

\[\Delta z=\left(c+v_{0} \cos \alpha\right) \sin \alpha \cdot \Delta t \approx c \sin \alpha \cdot \Delta t\tag{32}\]

Здесь учтено, что \(v \ll c\)

Следовательно, уравнение, описывающее изменение угла \(\alpha\) имеет вид

\[\frac{\Delta \alpha}{\Delta z}=-\frac{\beta \cos ^{2} \alpha}{c \sin \alpha} .\tag{33}\]

3.3 В рамках использованного приближения уравнение (33) преобразуется к виду

\[\frac{\Delta \alpha}{\Delta z}=-\frac{\beta \cos ^{2} \alpha}{c \sin \alpha} \approx-\frac{\beta}{c \cdot \alpha} .\tag{34}\]

Из которого не сложно найти зависимость \(\alpha(z)\) с учетом начальных условий:

\[\alpha \Delta \alpha=-\frac{\beta}{c} \Delta z \quad \Rightarrow \quad \Delta\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)=-\frac{\beta}{c} \Delta z \quad \Rightarrow \quad \frac{\alpha^{2}}{2}-\frac{\alpha_{0}^{2}}{2}=-\frac{\beta}{c} z\tag{35}\]

Окончательно получаем

\[\alpha=\sqrt{\alpha_{0}^{2}-2 \frac{\beta}{c} z} .\tag{35}\]

Для скептиков, сомневающихся в мощи приближенных методов. Уравнение (33) может быть решено точно

\[\frac{d \alpha}{d z}=-\frac{\beta \cos ^{2} \alpha}{c \sin \alpha} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin \alpha}{\cos ^{2} \alpha} d \alpha=-\frac{\beta}{c} d z \quad \Rightarrow \quad \int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \frac{\sin \alpha}{\cos ^{2} \alpha} d \alpha=-\frac{\beta}{c} z\]

Этот интеграл выражается через элементарные функции

\[\int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \frac{\sin \alpha}{\cos ^{2} \alpha} d \alpha=-\int_{\alpha_{0}}^{\alpha} \frac{d(\cos \alpha)}{\cos ^{2} \alpha}=\left.\frac{1}{\cos \alpha}\right\vert _{\alpha_{0}} ^{\alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}-\frac{1}{\cos \alpha_{0}}\]

Далее необходимо выразить в явном виде \(\cos\alpha\), провести тригонометрические преобразования типа (22) и ... получить уравнение (35)!

Как обычно – не понимаешь физики – сиди и интегрируй!

Вернемся, однако, к уравнению (35). Так как при малых углах \(\alpha\), угол равен производной \(z'(x)\), то это уравнение совпадает с уравнением (24), поэтому его решением является функция

\[z = -\frac{\beta}{2c} x^2 + \alpha_0 x\tag{36}\]

Таким образом, при распространении звука по ветру лучи представляют собой параболы, ветви которых направлены к земле.

При распространении звука против ветра необходимо поменять знак в уравнении (33), соответственно поменяется знак и решении, т.е. в этом случае лучи будут описываться функциями

\[z = +\frac{\beta}{2c} x^2 + \alpha_0 x\tag{37}\]

Отметим, что в этом случае \(x < 0\), но и \(\alpha_0 < 0\).

Полученные результаты корректно описывают ход лучей, построенных в результате качественного анализа.

3.4 Итак, причиной того, что звук лучше распространяется по ветру является преломление звуковых лучей, в этом случае они «прижимаются» к земле и являются слышимыми. В противоположном направлении лучи уходят вверх и минуют уши слушателей. Также существенно, что, как правило, скорость ветра возрастает с высотой (вблизи поверхности скорость ветра меньше из-за влияния вязкого трения о поверхность земли).

Изменение скорости распространения звука по и против ветра никакой роли не играет: во-первых, скорость ветра мала по сравнению со скоростью звука; во-вторых, не принципиально услышите ли вы раньше или позже на несколько миллисекунд!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.