Мосты

Если ток через \(R_1\) и \(R_2\) не течёт, потенциалы их концов равны — найдите потенциалы всех узлов. Схему с обратной полярностью удобно представить как наложение первой схемы и схемы с одним источником. Для омметра замените цепь между \(A\) и \(B\) эквивалентным источником.

Пункт 1. Воспользуемся методом узловых потенциалов. Рассмотрим случай, когда на резисторах \(R_1\) и \(R_2\) мощность не выделяется. Тогда напряжения на этих резисторах равны нулю.

Пусть \(\varphi_C = 0\), тогда \(\varphi_D = U_0\) (см. рисунок 1). Так как токи через \(R_1\) и \(R_2\) равны нулю, получаем: \[\varphi_A = \varphi_C = 0 \quad\text{и}\quad \varphi_B = \varphi_D = U_0.\] Следовательно, напряжение источника, подключенного к точкам \(A\) и \(B\), равно: \[\varphi_B - \varphi_A = U_0.\]

Пункт 2. Метод 1. Воспользуемся методом наложения. Рассмотрим схему с противоположной полярностью источника (подключенного к \(A\) и \(B\)) как суперпозицию ранее рассмотренной схемы и схемы с источником таким, что \(\varphi_B - \varphi_A = -2U_0\). Ранее рассмотренная схема даёт нулевые токи через \(R_1\) и \(R_2\). Значит, осталось лишь определить силы токов \(I_1\) и \(I_2\), текущих через резисторы \(R_1\) и \(R_2\) во второй схеме. Расставим токи во второй схеме с учётом закона Ома (см. рисунок 2).

Из закона сохранения заряда: \[I_1 + \frac{I_1R_1}{r} = I_2 + \frac{I_2R_2}{r}; \qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}.\] Мощности на этих резисторах \(P_1 = I_1^2R_1\) и \(P_2 = I_2^2R_2\) равны, следовательно: \[1 = \frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{I_1}{I_2}\right)^2\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{R_2 + r}{R_1 + r}\right)^2\frac{R_1}{R_2}.\]

Метод 2. Введём силы токов через резисторы с учётом закона сохранения заряда (см. рисунок 3). Распишем разность потенциалов двумя способами:

\[\varphi_A - \varphi_B = Ir + I_2R_2;\] \[\varphi_A - \varphi_B = I_1R_1 + (I_1 - I_2 + I)r; \qquad I_2R_2 - I_1R_1 = (I_1 - I_2)r.\] Откуда \[r = \frac{\frac{I_2}{I_1}R_2 - R_1}{1 - \frac{I_2}{I_1}}.\] Условие равенства мощностей \(I_1^2R_1 = I_2^2R_2\), следовательно: \[\frac{I_2}{I_1} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \;\Rightarrow\; r = \frac{\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\,R_2 - R_1}{1 - \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}}.\] Из полученных формул выразим \(r\): \[r = \sqrt{R_1R_2}.\]

Пункт 3. Метод 1. Воспользуемся методом эквивалентного источника. Заменим всю схему на источник напряжением \(U^*\) и сопротивлением \(r^*\). Эквивалентное напряжение найдём как разность потенциалов между узлами \(A\) и \(B\) в отсутствие внешних токов (см. рисунок 4):

\[U^* = \varphi_A - \varphi_B = -\frac{U_0}{R_1 + r}\,r + \frac{U_0}{R_2 + r}\,R_2 = 0.\] Эквивалентное сопротивление найдём, заменив ветвь с источником на перемычку: \[r^* = \frac{R_1r}{R_1 + r} + \frac{R_2r}{R_2 + r} = \sqrt{R_1R_2}.\] Таким образом, двухполюсник \(AB\) эквивалентен просто резистору сопротивлением \(\sqrt{R_1R_2}\). Следовательно, омметр при подключении к такому двухполюснику покажет \(R = \sqrt{R_1R_2}\) вне зависимости от его полярности.

Метод 2. Заметим, что условие \(r^2 = R_1R_2\) эквивалентно условию сбалансированности моста \(r/R_1 = R_2/r\). Рассмотрим схему, в которой источник \(\mathcal{E}_0\) внутри омметра заменён на перемычку. Через внутреннее сопротивление \(r_0\) омметра ток не течёт, поскольку он расположен на диагонали сбалансированного моста. Тогда: \[(\varphi_A - \varphi_B)^{(1)} = 0; \quad I_{AB}^{(1)} = 0.\] Рассмотрим схему, в которой источник \(U_0\) заменён на перемычку. Через эту перемычку ток также не течёт в силу сбалансированности моста, тогда: \[(\varphi_A - \varphi_B)^{(2)} = \pm\mathcal{E}; \quad I_{AB}^{(2)} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{r^*}; \quad r^* = \frac{R_1r}{R_1 + r} + \frac{R_2r}{R_2 + r}.\] Наложим две рассматриваемые схемы. Итоговая разность потенциалов на выводах омметра: \[\varphi_A - \varphi_B = (\varphi_A - \varphi_B)^{(1)} + (\varphi_A - \varphi_B)^{(2)} = \pm\mathcal{E},\] а сила тока \[I_{AB} = I_{AB}^{(1)} + I_{AB}^{(2)} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{r^*}.\] Тогда показание омметра: \[R = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{I_{AB}} = r^* = \frac{R_1r}{R_1 + r} + \frac{R_2r}{R_2 + r} = \sqrt{R_1R_2}.\] Получили, что через омметр не течёт ток от источника \(U_0\). Следовательно, омметр показывает эквивалентное сопротивление \(r^*\) вне зависимости от полярности подключения. \[R = \sqrt{R_1R_2}.\]