Газ расширяется в вакуум с пружиной

Куда уходит энергия газа? Свяжите работу газа с энергией сжатой пружины и выразите её через конечные давление и объём.

Запишем первое начало термодинамики: \[Q = \Delta U + A \quad\Longrightarrow\quad 0 = c_V (T_2 - T_1) + \frac{kx^2}{2},\] где \(c_V = \dfrac{3}{2}R\), \(T_2\) "— конечная температура, \(T_1\) "— начальная температура, \(x\) "— деформация пружины в конечном состоянии, \(k\) "— жёсткость пружины.

Поршень в конечном состоянии находится в равновесии, следовательно, \(p_2 S = kx\), где \(p_2\) "— давление газа в конечном состоянии, \(S\) "— площадь поршня.

Преобразуем данное уравнение: \[p_2 S = kx \Rightarrow p_2 S x = kx^2 \Rightarrow \frac{p_2 \Delta V}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_1}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{kx^2}{2},\] где \(\Delta V\) "— изменение объёма, \(V_1\) "— начальный объём газа, \(V_2\) "— конечный объём газа.

Из уравнения состояния следует: \[\frac{kx^2}{2} = \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{RT_2}{4}.\] Следовательно, \[0 = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) + \frac{RT_2}{4} \;\Longrightarrow\; \frac{T_2}{T_1} = \frac{6}{7} \;\Longrightarrow\; \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{V_2}\cdot\frac{V_1}{T_1} = \frac{3}{7}.\]