Из архива ЦПМК

Условие равновесия поршня — квадратное уравнение относительно \(x\); сравните, как растут с \(x\) давление газа (закон Бойля — Мариотта) и давление ртути, чтобы понять, какое из положений равновесия устойчиво. Поршень срывается к упорам, когда два положения равновесия сливаются (касание графиков).

1. Пусть \(\Delta p\) — отличие давления воздуха под поршнем от атмосферного в начале процесса. Поршень придёт в движение, когда давление ртути на поршень сравняется с избыточным давлением воздуха под поршнем, откуда: \[p_0 + \rho gh_1 = p_0 + \Delta p \implies h_1 = \frac{\Delta p}{\rho g}.\] Температура воздуха под поршнем может считаться постоянной. Поскольку нижняя часть трубы закрыта, количество воздуха под поршнем также будет оставаться постоянным. Тогда, если давление воздуха под поршнем обозначить за \(p_\text{в}\), его зависимость от \(x\) определяется законом Бойля–Мариотта: \[p_\text{в}V = \mathrm{const} \implies p_\text{в} = \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x}.\] Пусть уровень ртути в сосуде равен \(h\). Тогда давление \(p_\text{р}\) ртути на поршень составляет: \[p_\text{р} = p_0 + \rho g(h + x).\] В положении равновесия давление воздуха под поршнем равно давлению ртути на поршень, поэтому: \[p_0 + \rho g(x + h) = \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x}.\] Когда уровень ртути в сосуде достигает максимального значения \(h_{max}\), величина \(x = x_{max}\), получаем: \[\frac{\Delta p}{\rho g} = h_1 = \left(\frac{p_0}{\rho g} + x_{max} + h_{max}\right)\left(1 - \frac{x_{max}}{L}\right) - \frac{p_0}{\rho g},\] или с учётом \(p_0/(\rho g) = h_0\): \[h_1 = \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} - h_0 = 380\text{ мм}.\]

2. Перепишем условие равновесия поршня в следующем виде: \[(h_0 + h + x)(L - x) = (h_0 + h_1)L.\] Раскроем скобки и получим: \[x^2 - (L - h_0 - h)x + (h_1 - h)L = 0.\] Обратим внимание, что при \(h > h_1\) свободный член полученного квадратного уравнения является отрицательным, что следует из теоремы Виета, а значит уравнение имеет ровно один положительный корень. Тогда, поскольку нахождение поршня выше упоров не является возможным, при \(h > h_1\) поршень имеет единственное положение равновесия. Так как \(\Delta h \ll h_1\), свободный член можно принять равным нулю. Сокращая решение \(x = 0\), получим: \[x_1 = L - h_0 - h_1,\] или же: \[x_1 = L - \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} = 1900\text{ мм}.\]

3. После того, как уровень ртути в сосуде окажется ниже верхней части трубы, положение равновесия поршня перестанет изменяться. Решим квадратное уравнение, получаемое из условия равновесия поршня, при \(h = 0\): \[x_{2(1,2)} = \frac{L - h_0 \pm \sqrt{(L - h_0)^2 - 4Lh_1}}{2} = 0{,}76\text{ м},\ 1{,}52\text{ м}.\] Таким образом, когда уровень ртути в сосуде понизится до практически нулевого, поршень имеет два положения равновесия и расположится в том из них, которое является устойчивым. Проанализируем оба найденных положения равновесия поршня на устойчивость.

Положение равновесия поршня является устойчивым, если при повышении расстояния между ним и упорами давление воздуха под поршнем становится выше, чем давление ртути на поршень. Если расстояние между поршнем и упорами увеличилось на малую величину \(\Delta x\), то условия устойчивости положения равновесия поршня можно записать следующим образом: \[p_0 + \rho g(h + x + \Delta x) < \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x - \Delta x}.\] Используя условие равновесия, получим: \[\rho g\Delta x < \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x - \Delta x} - \bigl(p_0 + \rho g(h + x)\bigr) = \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x - \Delta x} - \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x}.\] С учётом малости \(\Delta x\) имеем: \[\rho g\Delta x < \frac{(p_0 + \Delta p)L\Delta x}{(L - x - \Delta x)(L - x)} \approx \frac{(p_0 + \Delta p)L\Delta x}{(L - x)^2} \implies \rho g < \frac{(p_0 + \Delta p)L}{(L - x)^2}.\] Определим значения \(x\), при которых положения равновесия поршня является устойчивым: \[L > x > L - \sqrt{\frac{(p_0 + \Delta p)L}{\rho g}} = L - \sqrt{(h_0 + h_1)L} = x_\text{кр} \approx 1178\text{ мм}.\] Таким образом, положение равновесия \(x_{2(1)} = 760\) мм является неустойчивым, а \(x_{2(2)} = 1520\) мм — устойчивым. Отметим, что при \(h = 0\) положение \(x = 0\) также является положением равновесия, поскольку для данного положения давление воздуха под поршнем будет выше, чем давление ртути на поршень, равное атмосферному. Однако, пока поршень не окажется на расстоянии \(x = x_\text{кр}\) от упоров, он всегда будет располагаться в устойчивом положении равновесия. При этом величина \(x\) монотонно возрастает с увеличением уровня \(h\) ртути в сосуде. Поскольку найденная при \(h = 0\) величина \(x_{2(2)} > x_\text{кр}\), то поршень в процессе понижения уровня ртути в сосуде всегда расположен в положении устойчивого равновесия и не может его покинуть. Таким образом, конечному положению поршня соответствует следующая величина \(x_2\): \[x_2 = \frac{L - h_0 + \sqrt{(L + h_0)^2 - 4(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}}{2} = 1520\text{ мм}.\]

Примечание: Исследование на устойчивость положений равновесия поршня можно осуществить не только аналитически, но и графически. Для это построим график зависимости \(p_\text{в}(x)\) (чёрная линия на рис.), а поверх него — прямые \(p_\text{р}(x)\) при различных значениях \(h\), где давления измеряются в миллиметрах ртутного столба. Точки пересечения графиков функций \(p_\text{в}(x)\) и \(p_\text{р}(x)\) соответствуют положениям равновесия поршня. Если вблизи точки пересечения с увеличением \(x\) функция \(p_\text{в}(x)\) возрастает на большую величину, чем функция \(p_\text{р}(x)\), то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена противоположно смещению поршня, и, следовательно, положения равновесия будет являться устойчивым. Если же вблизи точки пересечения с увеличением \(x\) функция \(p_\text{в}(x)\) возрастает на меньшую величину, чем функция \(p_\text{р}(x)\), то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена вдоль смещения поршня, и, следовательно, положение равновесия поршня будет являться неустойчивым. Из рисунка видно, что при \(h > h_1\) все положения равновесия поршня являются устойчивыми, а положение равновесия \(x = 0\) при \(h = h_1\) является неустойчивым. Если мы рассмотрим случай \(h = 0\) (красная прямая на графике), то точка пересечения \(x_{2(1)} = 760\) мм соответствует неустойчивому, а \(x_{2(2)} = 1520\) мм — устойчивому положению равновесия.

4. Используя результаты решения первого пункта, определим величину \(h_1\), при которой поршень приходит в движение:

\[h_1 = \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} - h_0 = 1140\text{ мм}.\] Запишем условие равновесия поршня: \[x^2 - x(L - h_0 - h) + L(h_1 - h) = 0.\] Решению \(x = 0\) соответствует величина \(h = h_1\). Однако при решении второго пункта мы получали, что при \(h = h_1\) у поршня существует второе положение равновесия на расстоянии \(x_1\) от упоров, равном: \[x_1 = L - \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} = 1140\text{ мм}.\] Данное положение является устойчивым, что можно показать, используя критерий устойчивости положения равновесия, полученный при решении четвёртого пункта:

\[x > L - \sqrt{(h_0 + h_1)L} = x_\text{кр} \approx 637\text{ мм}.\] Данное условие выполнено при \(x = x_1\), поэтому в процессе понижения уровня ртути в сосуде поршень не достигает упоров при \(h = h_1\).

При последующем понижении уровня ртути в сосуде у поршня есть два положения равновесия, одно из которых является устойчивым, а другое — неустойчивым. Пока расстояние \(x\) между поршнем и упорами удовлетворяет условию \(x > x_\text{кр}\), поршень располагается в положении устойчивого равновесия. Когда расстояние между поршнем и упорами станет равны \(x = x_\text{кр}\), два положения равновесия поршня, одно из которых является устойчивым, а второе — неустойчивым, совпадут и станут единым положением неустойчивого равновесия по отношению к смещению в сторону упоров. Данное положение соответствует касанию на графиков зависимостей \(p_\text{в}(x)\) и \(p_\text{р}(x)\), приведённых в примечании к решению четвёртого пункта задачи. Из этого же графика видна неустойчивость данного положения равновесия поршня по отношению к смещению в сторону упоров.

Таким образом, если при некотором значении \(h = h_2\) поршень оказывается в положении \(x = x_\text{кр}\), то при данном значении \(h\) во всех положениях, кроме \(x = x_\text{кр}\), давление воздуха под поршнем будет больше, чем давление ртути на поршень (см. рис. ниже), поэтому поршень скачкообразно переместится в сторону упоров и при дальнейшем понижении уровня ртути в сосуде от них не оторвётся.

Учтём, что касание графиков соответствует наличию единственного корня у квадратного уравнения, получаемого из условия равновесия поршня. Воспользуемся теоремой Виета: \[2x_\text{кр} = L - h_0 - h_2.\] После подстановки \(h_1\) в выражение для \(x_\text{кр}\) находим: \[h_2 = 2\sqrt{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})} - (L + h_0) \approx 1007\text{ мм}.\]