Стол и ваза

Сломанная ножка не несёт силы, поэтому стол опирается на три ножки. Стол не перевернётся, если проекция общего центра масс стола с вазой попадает внутрь треугольника из трёх работающих ножек.

Силы, действующие на систему «столешница + ваза»: \(Mg\) приложена к центру столешницы, \(mg\) — в точке расположения вазы; три реакции работающих ножек направлены вверх, реакция сломанной ножки равна нулю. Поэтому столешница опирается на три ножки и не переворачивается, если проекция общего центра масс системы попадает внутрь треугольника, образованного тремя работающими ножками (условие моментов).

Пусть центр столешницы — начало координат, ножки находятся в точках \((\pm a;\,\pm a)\), сломанная ножка — в точке \((a;\,a)\) (рис. 3 официального решения), координаты вазы — \(x\), \(y\). Проекция центра масс системы: \[x_{\text{цм}} = \frac{m x}{M + m} = \frac{5}{6}x, \qquad y_{\text{цм}} = \frac{5}{6}y.\] Треугольник опоры ограничен прямыми \(x = -a\), \(y = -a\) и \(x + y = 0\). Значит, условия: \[\frac{5}{6}x \ge -a \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{6}{5}a, \qquad \frac{5}{6}y \ge -a \;\Rightarrow\; y \ge -\frac{6}{5}a, \qquad x + y \le 0.\] Эти три прямые ограничивают треугольник с вершинами \(\left(\frac{6}{5}a;\,-\frac{6}{5}a\right)\), \(\left(-\frac{6}{5}a;\,-\frac{6}{5}a\right)\), \(\left(-\frac{6}{5}a;\,\frac{6}{5}a\right)\); все эти точки лежат внутри столешницы (радиус \(2a\)).