Задачи › Нагреватели, КПД нагрева

Потерянный график

  1. Потерянный график

    ВсОШ 2025/26, 8 кл.
    5/10

    Экспериментатор Глюк решил выпить чай. Он налил воду комнатной температуры \(t_0 = 20\,^\circ\)C из графина в чайник и поставил его на газовую плиту постоянной мощности. Наблюдая за тем, как изменяется температура воды со временем, он строил соответствующий график. Через \(\Delta\tau = 1\) мин после включения плиты Глюк понял, что воды в чайнике мало, и сразу начал доливать в него из графина ещё \(V_{\text{дол}} = 0{,}5\) л воды, не снимая чайник с плиты. Пока он медленно доливал эту порцию воды, он видел, что температура воды оставалась постоянной и равной \(t_1 = 60\,^\circ\)C. После закипания чайника он случайно опалил огнём края получившегося графика (см. рис.) зависимости температуры воды \(t\) от времени \(\tau\). Тепловых потерь нет. Теплоёмкость чайника и испарение воды пренебрежимо малы. Удельная теплоёмкость воды равна \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)C), плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).

    Рисунок

    1. Перечертите часть графика к себе в решение и восстановите его полную версию, считая, что включение плиты соответствовало времени \(\tau_0 = 0\).

    2. Какой изначальный объём воды \(V_0\) Глюк налил в чайник?

    3. В какой момент времени чайник начал кипеть?

    4. Какова была мощность плиты \(P\)?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    На каждом участке графика тепло от плиты идёт на нагрев всей воды в чайнике. Наклон прямых на первом и третьем участках различается отношением полного объёма к начальному. На втором участке температура постоянна: тепло идёт на нагрев доливаемой воды.

    Ответ

    1) график: первый участок — прямая от \((0;\,20\,^\circ\text{C})\) до \((1\text{ мин};\,60\,^\circ\text{C})\), второй — горизонтальный отрезок при \(60\,^\circ\)C от \(1\) до \(2\) мин, третий — прямая от \((2\text{ мин};\,60\,^\circ\text{C})\) до \((4\text{ мин};\,100\,^\circ\text{C})\); 2) \(V_0 = 0{,}5\) л;  3) \(\tau = 4\) мин;  4) \(P = 1400\) Вт.

    Решение

    1) На первом участке тепло от плиты идёт на нагрев воды объёма \(V_0\): \[P\tau = c\rho V_0 (t - t_0), \qquad t(\tau) = t_0 + k_1\tau, \quad k_1 = \frac{P}{c\rho V_0}.\] На третьем участке вся вода (объём \(V_0 + V_{\text{дол}}\)) нагревается от \(t_1\): \(t(\tau) = t_0 + k_3\tau\), \(k_3 = \dfrac{P}{c\rho(V_0 + V_{\text{дол}})}\). Оба графика проходят через точку \((0;\,t_0)\), поэтому, продолжив их, восстанавливаем масштаб по оси времени: одна клетка — \(0{,}5\) мин; по оси температур — \(10\,^\circ\)C. По сохранившейся части графика \(\dfrac{k_1}{k_3} = 2\).

    2) Отношение наклонов \(\dfrac{k_1}{k_3} = \dfrac{V_0 + V_{\text{дол}}}{V_0} = 2\), поэтому \(V_{\text{дол}} = V_0 = 0{,}5\) л.

    3) Доливание шло в течение \(\Delta\tau = 1\) мин, и температура не менялась, поэтому тепло от плиты шло на нагрев доливаемой воды от \(t_0\) до \(t_1\). Тогда кипение (температура \(100\,^\circ\)C) наступает через \(\tau = 4\) мин после начала нагрева (доливание закончилось на второй минуте, далее ещё \(2\) мин нагрева от \(60\,^\circ\)C до \(100\,^\circ\)C).

    4) Из условия доливания \(P\,\Delta\tau = c\rho V_{\text{дол}}(t_1 - t_0)\): \[P = \frac{c\rho V_{\text{дол}}(t_1 - t_0)}{\Delta\tau} = \frac{4200\cdot 0{,}5\cdot 40}{60}~\text{Вт} = 1400~\text{Вт}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх