Сосуд с трубой

Запишите условие равновесия поплавка и поршня до и после добавления тела. Объём жидкости в сосуде не меняется, поэтому смещение поплавка связано с подъёмом уровня жидкости.

1) Условие равновесия поплавка: \(mg + T = \rho g h S\), где \(T\) — сила натяжения нити. Условие равновесия поршня: \(T = \rho g H S_2\). Отсюда \(m = \rho(hS - HS_2)\).

2) Нить нерастяжима, поэтому при смещении поршня влево на \(\Delta x\) поплавок опускается на \(\Delta x\). Объём жидкости не меняется: уровень жидкости в вертикальном сосуде поднимается на \(\Delta H\), причём \[h(S_1 - S) + \Delta x\,S_1 = S_2\Delta x + (\Delta x + h + \Delta H)(S_1 - S) \quad\Rightarrow\quad \Delta H = \Delta x\,\frac{S - S_2}{S_1 - S}.\] Так как \(S > S_2\), предположение о подъёме уровня и смещении поршня влево верно.

Для поплавка с телом \(\Delta m\): \((m + \Delta m)g + T' = \rho g S(h + \Delta H + \Delta x)\), для поршня: \(T' = \rho g (H + \Delta H) S_2\). Вычитая из первого уравнения условие до добавления тела, получаем \[\frac{\Delta m}{\rho} = S\,\Delta x + \Delta H\,(S - S_2).\] Подставляя \(\Delta H\), найдём смещение поршня: \[\Delta x = \frac{\Delta m}{\rho}\cdot\frac{S_1 - S}{S_1 S - 2SS_2 + S_2^2}.\] Поршень смещается влево.