Машина Атвуда и неупругий удар

Так как нить нерастяжима, то величины ускорений обоих грузов одинаковы. Поскольку блок и нить невесомы и трение отсутствует, то сила натяжения \(T\) вдоль всей нити одинакова. Направим координатную ось вниз и запишем уравнения движения грузов с учётом того, что \(m_1 > m_2\): \[m_1a = m_1g - T,\quad -m_2a = m_2g - T.\] Отсюда следует, что ускорение равно \[a = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g.\] В момент касания первого груза с плоскостью оба груза разгонятся до скорости \[V = \sqrt{2ah} = \sqrt{2gh\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}}.\] После этого груз \(m_1\) остановится (так как удар о плоскость абсолютно неупругий), а груз \(m_2\) полетит вверх со скоростью \(V\) и ускорением \(g\), направленным вниз. Через некоторое время, достигнув максимальной высоты, груз \(m_2\) начнёт падать с ускорением \(g\) и снова натянет нить. В этот момент его скорость будет по величине той же, что и в начале полёта, но направлена она будет уже вниз. Поскольку нить неупругая, а блок невесомый, скорости обоих грузов после рывка выровняются: \(m_2V = (m_1 + m_2)V_1\), откуда начальная скорость движения груза \(m_1\) вверх (а груза \(m_2\) — вниз) будет равна \[V_1 = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}V = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\sqrt{2gh\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}}.\] Ускорение грузов при дальнейшем их движении будет прежним, равным \(a = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g\), а максимальная высота подъёма груза \(m_1\) составит \[h_1 = \dfrac{V_1^2}{2a} = \left(\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\right)^2\cdot\dfrac{2gh\cdot(m_1 - m_2)(m_1 + m_2)}{(m_1 + m_2)\cdot 2g(m_1 - m_2)} = \left(\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}\right)^2h.\] При дальнейшем движении в системе будут происходить те же процессы, но после каждого следующего удара о плоскость высота подъёма первого груза будет уменьшаться в \(\left(1 + (m_1/m_2)\right)^2\) раз, так что \(h_1\) действительно является искомой максимальной высотой подъёма.