Вытеснение жидкости из трубки

Для того, чтобы жидкость вытеснялась из трубки медленно, газ также нужно нагревать очень медленно, регулируя количество подводимого тепла так, чтобы вытекающая жидкость в течение всего процесса не приобретала кинетическую энергию. При этом всё сообщаемое газу тепло будет уходить на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы при расширении.

В начальном состоянии газ в сосуде находится под атмосферным давлением \(p_0\) и имеет некоторую температуру \(T_0\). Пренебрежём объёмом и высотой столба жидкости, находящейся в полукруглом участке трубки. Тогда длина трубки равна \(V_0/S\). Следовательно, в конечном состоянии объём газа увеличится до величины \(V_1 = 3V_0/2\), его давление станет равно \(p_1 = p_0 + \dfrac{\rho gV_0}{2S}\), а температура изменится до некоторой величины \(T\). Запишем уравнение Клапейрона для начального и конечного состояний газа: \[\dfrac{p_0V_0}{T_0} = \dfrac{\left(p_0 + \dfrac{\rho gV_0}{2S}\right)\cdot\dfrac{3V_0}{2}}{T}.\] Отсюда, с учётом уравнения состояния \(p_0V_0 = \nu RT_0\), получим: \[T - T_0 = \dfrac{T_0}{p_0V_0}\left(\dfrac{3p_0V_0}{2} + \dfrac{3\rho gV_0^2}{4S} - p_0V_0\right) = \dfrac{1}{\nu R}\left(\dfrac{p_0V_0}{2} + \dfrac{3\rho gV_0^2}{4S}\right).\] Таким образом, в течение процесса температура газа увеличится, и его внутренняя энергия возрастёт на величину \[\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R(T - T_0) = \dfrac{3p_0V_0}{4} + \dfrac{9\rho gV_0^2}{8S}.\] Найдём теперь работу, совершаемую газом при расширении. Она пойдёт на увеличение потенциальной энергии жидкости и на совершение работы против силы атмосферного давления. Примем уровень основания трубки за начало отсчёта потенциальной энергии. Тогда в начальном состоянии потенциальная энергия находящейся в трубке жидкости равна \[E_1 = \rho V_0g\cdot\dfrac{V_0}{4S}.\] После того, как половина жидкости вытечет из трубки (а это означает, что она будет вытеснена на высоту \(\dfrac{V_0}{2S}\)), потенциальная энергия жидкости станет равна \[E_2 = \dfrac{\rho V_0}{2}g\dfrac{V_0/S}{4} + \dfrac{\rho V_0}{2}g\dfrac{V_0/S}{2} = \dfrac{3\rho gV_0^2}{8S}.\] Работа против постоянной силы атмосферного давления, совершённая при вытеснении жидкости из трубки, равна \(A_0 = p_0\dfrac{V_0}{2}\). Следовательно, полная работа, совершаемая газом при расширении, равна \[\Delta A = E_2 - E_1 + A_0 = \dfrac{3\rho gV_0^2}{8S} - \dfrac{\rho gV_0^2}{4S} + \dfrac{p_0V_0}{2} = \dfrac{\rho gV_0^2}{8S} + \dfrac{p_0V_0}{2}.\] Искомое количество теплоты теперь можно определить при помощи первого начала термодинамики: \[\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \dfrac{5}{4}V_0\left(p_0 + \dfrac{\rho gV_0}{S}\right).\]