Деревянный цилиндр в воде

Сила, которую надо прикладывать, линейно растёт с глубиной погружения, начиная с глубины \(x_0\), где цилиндр плавает свободно. Работа равна площади под графиком этой силы.

Пусть \(x\) — высота подводной части цилиндра. Сила Архимеда \(F_A = \rho_ж g\pi R^2 x\). Цилиндр погружают медленно, поэтому внешняя сила \(F\) уравновешивает разность веса и силы Архимеда. Масса цилиндра \(m = \rho_д\pi R^2 h\). Высота подводной части при свободном плавании \(x_0 = \dfrac{\rho_д h}{\rho_ж}\), так что \[F(x) = F_A - mg = \rho_ж g\pi R^2 (x - x_0).\] Работа на перемещении \((h - x_0)\) равна площади треугольника под графиком \(F(x)\): \[A = \frac{1}{2}\,F(h)\,(h - x_0) = \frac{1}{2}\,\rho_ж g\pi R^2 (h - x_0)^2 = \frac{1}{2}\,\rho_ж g\pi R^2 h^2 \left(1 - \frac{\rho_д}{\rho_ж}\right)^2 \approx 0{,}1~\text{Дж}.\]