Метеозонд сферической формы массы \(m\) и постоянного объёма \(V\) наполнен He. Шар стартует с поверхности Земли при нормальном атмосферном давлении \(P\), температуре \(T\) и плотности воздуха \(\rho\), давление He равно атмосферному. Температуру атмосферного воздуха считать постоянной, объёмом оболочки метеозонда пренебречь. Определить максимальную высоту подъёма \(h\).

\(h = \dfrac{P}{\rho g}\,\ln\dfrac{\rho V R T}{R T m + P M V}\), где \(M\) — молярная масса гелия.

Метеозонд — Ведомственная 2021/22, 10 кл., задача 3

Метеозонд
Ведомственная 2021/22, 10 кл.
7/10
Метеозонд сферической формы массы \(m\) и постоянного объёма \(V\) наполнен He. Шар стартует с поверхности Земли при нормальном атмосферном давлении \(P\), температуре \(T\) и плотности воздуха \(\rho\), давление He равно атмосферному. Температуру атмосферного воздуха считать постоянной, объёмом оболочки метеозонда пренебречь. Определить максимальную высоту подъёма \(h\).
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Максимальная высота достигается, когда сила Архимеда уравновешивает вес. Плотность воздуха на высоте найдите по барометрической формуле, связав давление с плотностью через уравнение состояния воздуха.
Ответ
\(h = \dfrac{P}{\rho g}\,\ln\dfrac{\rho V R T}{R T m + P M V}\), где \(M\) — молярная масса гелия.
Решение
Условие равновесия на высоте \(h\): \(\rho_h V g = m g + \rho_{\text{He}} V g\), где \(\rho_{\text{He}}\) — плотность гелия. Масса гелия постоянна, а объём постоянен, поэтому \(\rho_{\text{He}} = \dfrac{PM}{RT}\) (здесь \(M\) — молярная масса гелия). Отсюда плотность воздуха на высоте \[\rho_h = \frac{m + \rho_{\text{He}} V}{V} = \frac{RTm + PMV}{VRT}.\] Барометрическая формула с учётом \(P = \rho RT/M_a\) даёт \(\rho_h = \rho\, e^{-\rho g h / P}\). Логарифмируя, \[h = \frac{P}{\rho g}\,\ln\frac{\rho V R T}{RTm + PMV}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Метеозонд

Метеозонд

Похожие задачи