Задачи › Воздушный шар, подъёмная сила

Воздушный шар

  1. Воздушный шар

    ВсОШ 2020/21, 10 кл.
    4/10

    Оболочка воздушного шара изготовлена из нерастяжимой плотной ткани с массовой поверхностной плотностью \(\sigma\) (масса 1 м\(^2\) поверхности оболочки численно равна \(\sigma\)). Если оболочку полностью заполнить газом, то она приобретает форму сферы радиусом \(r\). В пустую оболочку закачивают некоторое количество гелия.

    1. При каких значениях массы \(m\) гелия шар будет подниматься?

    2. Какому соотношению должны удовлетворять параметры шара, чтобы его подъём был возможен?

    Молярная масса гелия \(M_{\text{He}}\), воздуха — \(M_{\text{В}}\), атмосферное давление \(p_0\), температура — \(T\). Объём шара \(V = 4\pi r^3/3\), площадь сферы \(S = 4\pi r^2\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Пока оболочка не раздулась, давление гелия равно атмосферному и объём растёт пропорционально массе. Условие подъёма: сила Архимеда больше силы тяжести гелия и оболочки.

    Ответ

    1) \(\dfrac{4\pi r^2\sigma M_{\text{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\text{He}}} < m < 4\pi r^2\left(\dfrac{p_0M_{\text{В}}r}{3RT} - \sigma\right)\); 2) подъём возможен при \(r > \dfrac{3RT\sigma}{p_0(M_{\text{В}} - M_{\text{He}})}\); при меньших \(r\) шар не взлетит.

    Решение

    Максимальный объём оболочки достигается при массе гелия \(m_0 = \dfrac{4\pi}{3}r^3\dfrac{p_0M_{\text{He}}}{RT}\). При \(m < m_0\) объём шара \(V = \dfrac{mRT}{M_{\text{He}}p_0}\).

    Условие подъёма (сила Архимеда больше силы тяжести) при \(m < m_0\): \(\rho_B V g > mg + 4\pi r^2\sigma g\), где \(\rho_B = \dfrac{p_0M_{\text{В}}}{RT}\). Подставляя \(V\), получаем \(m > \dfrac{4\pi r^2\sigma M_{\text{He}}}{M_{\text{В}} - M_{\text{He}}}\).

    При \(m > m_0\) объём фиксирован, и условие имеет вид \(\dfrac{4\pi r^3}{3}\dfrac{p_0M_{\text{В}}}{RT} > m + 4\pi r^2\sigma\), откуда \(m < 4\pi r^2\left(\dfrac{p_0M_{\text{В}}r}{3RT} - \sigma\right)\).

    Оба условия совместны, если левая граница меньше правой. Это выполнено при \(r > \dfrac{3RT\sigma}{p_0(M_{\text{В}} - M_{\text{He}})}\); при меньших \(r\) шар не взлетит ни при каких массах.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх