Шарнир и колечко

Невесомый нижний стержень: суммы сил и моментов на него равны нулю. Что остаётся для верхнего стержня с шарниром и грузом?

Нижний стержень невесомый, поэтому векторная сумма сил и сумма моментов сил, действующих на него, равны нулю. Сила реакции спицы направлена вертикально вверх, сила со стороны шарнира — вертикально вниз; вместе с условием на моменты это означает, что обе силы равны нулю.

Верхний стержень вместе с шарниром и грузом испытывает только силы тяжести, поэтому шарнир и груз движутся вертикально вниз с ускорением \(a_{ш0} = a_{г0} = g\), а стержень сохраняет ориентацию в пространстве.

Когда шарнир, груз и колечко окажутся на одной прямой, верхний стержень опустится ниже спицы, а нижний снова будет составлять угол \(\alpha\) с горизонтом. По закону сохранения энергии шарнир и груз опустились на \(\Delta h = 2L\sin\alpha\), поэтому \[\upsilon^2 = 4gL\sin\alpha .\] Перейдём в систему отсчёта колечка: в ней шарнир движется по окружности радиуса \(L\). Его относительная скорость \(\upsilon_{\text{отн}}\) перпендикулярна стержню, поэтому \(\upsilon_{\text{отн}} = \upsilon/\cos\alpha\). Нормальная составляющая ускорения шарнира в этой СО \[a_n = -g\sin\alpha + a_к\cos\alpha = \frac{\upsilon_{\text{отн}}^2}{L},\] откуда \[a_к = \frac{\upsilon_{\text{отн}}^2}{L\cos\alpha} + g\,\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{4gL\sin\alpha}{L\cos^3\alpha} + g\,\mathrm{tg}\,\alpha = g\,(5 + 4\,\mathrm{tg}^2\alpha)\,\mathrm{tg}\,\alpha .\]