Жёлоб

Для всех прямых желобов из \(A\) точки, до которых шарик доезжает за время \(t\), лежат на одной окружности, проходящей через \(A\) с центром на вертикали под \(A\).

Ускорение шарика вдоль желоба \(a = g\sin\alpha\), пройденное расстояние \(s = \dfrac{g t^2 \sin\alpha}{2}\), то есть \(\dfrac{s}{\sin\alpha} = \dfrac{gt^2}{2}\) одинаково для всех желобов, по которым шарик может за время \(t\) достичь точки \(B\). Все такие точки лежат на окружности радиуса \(r_1 = \dfrac{gt^2}{4}\), центр которой лежит строго под точкой \(A\) (на расстоянии \(r_1\) от неё). Минимальное время соответствует касанию этой окружности с дугой радиуса \(R\). Расстояние \(OO_1\) выражается двумя способами: \((R + r_1)^2 = r^2 + (r - r_1)^2\), откуда \(r_1 = \dfrac{2r^2 - R^2}{2(r + R)}\). Тогда \(t = \sqrt{\dfrac{4r_1}{g}} = \sqrt{\dfrac{2(2r^2 - R^2)}{g(r + R)}}\).