Задачи › ЭДС движения: рельсы, перемычки, рамки

Два кольца в магнитном поле

  1. Два кольца в магнитном поле

    Ведомственная 2019/20, 11 кл.
    8/10

    Два одинаковых проволочных кольца радиусом \(R\) движутся поступательно в одной плоскости навстречу друг другу вдоль прямой, проходящей через их центры, в однородном магнитном поле с индукцией, равной \(B\) и направленной перпендикулярно плоскости колец (см. рис.). Найти направления и модули сил, действующих на каждое кольцо со стороны магнитного поля, в тот момент, когда скорости колец равны \(V\), а центральный угол, стороны которого проходят через точки касания колец \(a\) и \(б\), равен \(\alpha\). В точках касания колец \(a\) и \(б\) имеется хороший электрический контакт. Электрическое сопротивление проволоки кольца, длина которой равна длине окружности кольца, составляет \(r\). Индуктивностями колец пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Кольца соединены в точках касания, и между ними образуется система дуг с двумя параллельными ветвями. ЭДС движения действует на каждой дуге, которая лежит внутри другого кольца. Силы Ампера на остальных участках компенсируются.

    Ответ

    \(F = \dfrac{16\pi^2 B^2 R^2 V}{r\,\alpha(2\pi - \alpha)}\,\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\); сила на каждое кольцо направлена вдоль линии центров, противоположно его скорости.

    Решение

    Эквивалентная схема: два параллельных контура между точками касания \(a\) и \(б\). ЭДС, действующая на каждом из четырёх участков колец, расположенных между точками касания, \[\varepsilon = 2BVR\sin\frac{\alpha}{2};\] длина отрезка \(a\)–\(б\) равна \(l_{аб} = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}\).

    Сопротивления дуг, пропорциональных центральным углам: \[r_1 = \frac{r(2\pi - \alpha)}{2\pi}, \qquad r_2 = \frac{r\alpha}{2\pi}.\] Токи на них: \(I_1 = \varepsilon/r_1\) и \(I_2 = \varepsilon/r_2\).

    По симметрии результирующая сила Ампера направлена вдоль прямой, проходящей через центры колец. Её модуль \[F = (I_1 + I_2)\,B\,l_{аб} = \frac{\varepsilon\cdot 4\pi^2}{r\,\alpha(2\pi-\alpha)}\cdot B\,l_{аб} = \frac{16\pi^2 B^2 R^2 V}{r\,\alpha(2\pi-\alpha)}\,\sin^2\frac{\alpha}{2}.\] Сила, действующая на кольцо, направлена противоположно его скорости.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх