Плоты и пешеход

Выразите путь пешехода до встречи с первым плотом и время движения; за это же время плот проплывает путь, равный расстоянию от \(А\) до точки встречи, так как плот движется со скоростью течения.

Пусть \(L\) — расстояние между \(А\) и \(В\), \(u\) — скорость течения реки.

Пешеход до встречи с первым плотом прошёл \(\dfrac{2}{3}L + \dfrac{1}{4}L = \dfrac{11}{12}L\) за время \(t_1 = \dfrac{11L}{12v}\). За это время плот проплыл \(\dfrac{3}{4}L\), поэтому \[u = \frac{3L}{4t_1} = \frac{3}{4}\cdot\frac{12v}{11} = \frac{9}{11}v = 4{,}5\ \text{км/ч}.\]

Между встречами с первым и последним плотом пешеход прошёл \(L - \dfrac{L}{4} - \dfrac{L}{5} = \dfrac{11}{20}L\), и это время \(t = 59{,}4\) мин. Тогда \[\frac{11}{20}L = vt \quad\Rightarrow\quad L = \frac{20\,v t}{11} \approx 9{,}9\ \text{км}.\]

Последний плот встретил пешехода в точке, отстоящей от \(А\) на \(\dfrac{L}{5}\), поэтому плыл он \(t_2 = \dfrac{L}{5u} = 26{,}4\) мин. Первый плот до встречи с пешеходом плыл \(t_1 = \dfrac{11L}{12v} = 99\) мин. Тогда от отплытия первого плота до отплытия последнего прошло \(T = t_1 + t - t_2 = 99 + 59{,}4 - 26{,}4 = 132\) мин. За это время с интервалом \(\tau = 12\) мин отплыло \(N = T/\tau = 11\) плотов после первого, всего \(12\).