Подъём жидкости у стенки

Запишем условия равновесия столбика жидкости вблизи стенки сосуда (см. рис. 2.77). Направим ось \(X\) горизонтально, к стенке, а ось \(Y\) — вертикально вверх, причём начало отсчёта по этой оси совместим с поверхностью жидкости в сосуде вдали от стенки. Пусть верхушка рассматриваемого столбика жидкости имеет координату \(y\), ширина столбика равна \(\Delta x\), а толщина равна единице. Обозначим через \(\alpha\) угол наклона поверхности жидкости на верху столбика, а через \(\Delta\alpha\) — приращение этого угла на ширине столбика. Тогда условие равновесия столбика будет иметь вид: \(\rho gy\Delta x = \sigma\left(\sin(\alpha + \Delta\alpha) - \sin\alpha\right)\). Приращение координаты \(y\) на ширине столбика равно \(\Delta y = \Delta x\operatorname{tg}\alpha\). Из этих двух уравнений, учитывая малость \(\Delta\alpha\), имеем: \(\rho gy\Delta y = \sigma\sin\alpha\Delta\alpha\), откуда \(\rho g\Delta(y^2/2) = \sigma\Delta(-\cos\alpha)\). Поскольку угол \(\alpha\) изменяется в пределах от 0 до \(\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\), для высоты подъёма жидкости \(h\) у вертикальной стенки сосуда получаем: \[h = \sqrt{\dfrac{2\sigma(1 - \sin\theta)}{\rho g}}.\] Заметим, что этот результат можно получить и из рассмотрения условий равновесия той части жидкости у стенки, которая возвышается над уровнем поверхности вдали от стенки. Если толщина этой части по-прежнему равна единице, то в направлении оси \(X\) на данную часть жидкости действуют силы поверхностного натяжения \(-\sigma\) и \(\sigma\sin\theta\), а также сила давления, которую можно найти следующим образом. На высоте \(y\) над нулевым уровнем давление вблизи стенки меньше атмосферного на величину \(\rho gy\), поэтому среднее давление для высоты подъёма жидкости у стенки \(h\) равно \(\rho g\dfrac{h}{2}\), а суммарная сила давления на эту часть жидкости направлена вправо и равна \(\rho g\dfrac{h}{2}\cdot h\). Таким образом, условие равновесия выделенной части жидкости имеет вид: \(\sigma\sin\theta - \sigma + \rho g\dfrac{h^2}{2} = 0\), откуда получаем прежнее выражение для \(h\).