Шары в среде с большим сопротивлением

Так как радиус каждого шара мал по сравнению с глубиной его погружения в среду и с расстоянием между шарами, то вблизи каждого шара ток распределён сферически симметрично. Обозначим радиусы шаров через \(R_1\) и \(R_2\), удельное сопротивление среды через \(\rho\), её диэлектрическую проницаемость через \(\varepsilon\). Пусть на первом шаре в установившемся режиме находится положительный заряд \(q_1\), а на втором — отрицательный заряд \(q_2\). Окружим первый шар воображаемыми концентрическими сферическими поверхностями с радиусами \(r\) и \(r + \Delta r\) (\(\Delta r \ll r\)) и найдём напряжение \(\Delta U\) между этими поверхностями: \[\Delta U = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\dfrac{q_1}{r} - \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\dfrac{q_1}{r + \Delta r} = \dfrac{q_1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}\Delta r.\] Сопротивление среды, находящейся между рассматриваемыми поверхностями, равно \(\Delta\tilde R = \rho\dfrac{\Delta r}{4\pi r^2}\). Значит, в соответствии с законом Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, сила тока, текущего между рассматриваемыми поверхностями, равна \[i = \dfrac{\Delta U}{\Delta\tilde R} = \dfrac{q_1}{\varepsilon_0\varepsilon\rho}.\] Поскольку сила тока вдоль всей цепи одинакова, то из полученной формулы следует, что заряды на обоих шарах одинаковы по величине: \(q_1 = |q_2| = i\varepsilon_0\varepsilon\rho\). Следовательно, потенциалы шаров равны \[\varphi_1 = \dfrac{q_1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R_1} = \dfrac{\rho i}{4\pi R_1},\qquad \varphi_2 = \dfrac{q_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R_2} = -\dfrac{\rho i}{4\pi R_2}.\] Поскольку сопротивление источника и соединительных проводников пренебрежимо мало, то разность потенциалов между шарами равна ЭДС источника: \[\mathcal{E} = \varphi_1 - \varphi_2 = \dfrac{\rho i}{4\pi}\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right).\] Отсюда получаем связь между радиусами шаров и силой тока в цепи: \[i = \dfrac{4\pi\mathcal{E}}{\rho\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)}.\] По условию задачи, когда погружённые в среду шары одинаковы (\(R_1 = R_2 = R\)), в цепи течёт ток, сила которого равна \(I = \dfrac{2\pi\mathcal{E}R}{\rho}\). Если же один из шаров заменить шаром вдвое меньшего размера (\(R_1 = R\), \(R_2 = R/2\)), то в цепи будет течь ток \(I' = \dfrac{4\pi\mathcal{E}R}{3\rho} = \dfrac{2}{3}I\).