Соударения подвешенных шаров

При малых колебаниях шаров в промежутках между соударениями отклонение от вертикали \(x\) и скорость \(v\) каждого из шаров изменяются со временем \(t\) по гармоническому закону. Рассмотрим сначала интервал времени перед первым соударением. Будем считать, что при \(t = 0\) центры шаров находятся на максимальном удалении \(A = R + \Delta x\) от вертикали, где \(R\) — радиус шара. Так как столкновения частые, то \(\Delta x \ll R\) и можно считать, что \(A \approx R\). Тогда в промежутках между соударениями \(x = R\cos\omega t\) и \(v = -R\omega\sin\omega t\), где \(\omega = \sqrt{g/l}\) (\(l\) — длина нити, намного большая \(R\)). Первое соударение произойдёт через время \(t = \Delta T_0/2\). Скорость шара непосредственно перед первым столкновением будет равна по величине \(v_0 = R\omega\sin\dfrac{\omega\Delta T_0}{2} \approx \dfrac{R\omega^2\Delta T_0}{2}\), а сразу после него составит \(v_1 = kv_0\).

Рассуждая аналогично, можно показать, что скорость шара перед \((n + 1)\)-м соударением равна \(v_n \approx \dfrac{R\omega^2\Delta T_n}{2}\), где \(\Delta T_n\) — промежуток времени между \(n\)-м и \((n + 1)\)-м соударениями, причём \(v_{n+1} = kv_n\). Отсюда, последовательно полагая \(n = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\), получим: \[\Delta T_1 = \dfrac{v_1}{v_0}\Delta T_0 = k\Delta T_0,\quad \Delta T_2 = \dfrac{v_2}{v_1}\Delta T_1 = k^2\Delta T_0,\quad \ldots,\] \[\Delta T_n = \dfrac{v_n}{v_{n-1}}\Delta T_{n-1} = k^n\Delta T_0,\qquad\text{и так далее.}\] Теперь можно найти длительность интервала времени, которое займут первые \(n\) соударений: \[t_n = \Delta T_0 + \Delta T_1 + \Delta T_2 + \ldots + \Delta T_{n-1} = \Delta T_0\left(1 + k + k^2 + \ldots + k^{n-1}\right) =\] \[= \dfrac{1 - k^n}{1 - k}\Delta T_0 = \dfrac{\Delta T_0 - \Delta T_n}{1 - k}\] (для вычисления последней суммы мы воспользовались формулой для суммы первых \(n\) членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда \(\Delta T_n = \Delta T_0 - (1 - k)t_n\), и частота соударений \(f_n = \dfrac{1}{\Delta T_n} = \dfrac{1}{\Delta T_0 - (1 - k)t_n}\). При \(n \gg 1\), когда удары происходят очень часто, промежутки времени \(\Delta T_n\) между соударениями очень малы, и поэтому в последней формуле можно заменить величину \(t_n\) на время \(t\). Тогда искомый закон роста частоты со временем имеет вид: \[f(t) = \dfrac{1}{\Delta T_0 - (1 - k)t}.\] Заметим, что частота возрастает с течением времени по гиперболическому закону, то есть сначала достаточно медленно, а потом всё быстрее и быстрее. Поэтому, если поднести к сталкивающимся шарам микрофон, подключённый к звукоусилительной системе, то будут слышны отдельные резкие удары, частота которых будет всё быстрее и быстрее увеличиваться, и вскоре будет слышен лишь непрерывный гул с возрастающей частотой.