Колебания массивной пружины

Разбейте пружину на \(N\) равных частей, посчитайте растяжение каждой части под весом нижележащих частей и найдите полное растяжение. Для периода запишите закон сохранения энергии, считая движение центра масс пружины.

1. Разобьём пружину на \(N\) равных частей жёсткостью \(k_1 = kN\). Пронумеруем части снизу: на \((i+1)\)-ю часть действует вес \(i\) нижних частей, \(F_{i+1} = mgi/N\), а её растяжение \(\Delta l_{i+1} = mgi/(kN^2)\). Полное растяжение \[\Delta l = \sum_{i=1}^{N}\Delta l_i = \frac{mg}{kN^2}\cdot\frac{N(N-1)}{2} \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{mg}{2k}.\] Потенциальная энергия растянутой пружины \[W_p = \sum_i \frac{k_1\Delta l_i^2}{2} \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{m^2g^2}{6k} = \frac{2k\,\Delta l^2}{3}.\]

2. Центр масс растянутой пружины, отсчитанный от нижнего конца, находится на расстоянии \(x_{\text{cн}} = \dfrac{l}{2} + \dfrac{\Delta l}{3}\), где \(l\) — длина нерастянутой части. От закреплённого верхнего края \[x_{\text{св}} = \Delta l + l - \frac{l}{2} - \frac{\Delta l}{3} = \frac{2\Delta l}{3} + \frac{l}{2}.\]

3. Период. Из закона сохранения энергии \(W_p + W_k = \text{const}\) с учётом скорости центра масс \(v_c = \dfrac{2\Delta l'}{3}\): \[\frac{3k}{m}\Delta l^2 + \Delta l'^2 = \text{const}.\] Это каноническое уравнение колебаний с \(\omega_0 = \sqrt{3k/m}\), откуда \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}}.\] Приближение здесь связано с заменой кинетической энергии распределённой массы кинетической энергией центра масс.

Для пружины с длиной \(L\) и массой \(m_0\) с учётом \(k(l) = k_0 L/l\) и \(m(l) = m_0 l/L\): \[T = 2\pi\frac{l}{L}\sqrt{\frac{m_0}{3k_0}}.\]

4. Экспериментально строят зависимость \(T\) от \(l\); линейная аппроксимация \(T = al + b\) даёт \[k_0 = \frac{4\pi^2}{L^2}\cdot\frac{m_0}{3a^2}.\] При малых \(l\) растут и погрешность измерения периода, и влияние массы сжатой части пружины из-за предварительного натяга, поэтому аппроксимацию берут по участку с достаточно большой длиной.

Официальный результат: \(k_0 = 1{,}1 \pm 0{,}3\) Н/м.

Комментарий. Строгое выражение для периода, учитывающее распределение массы и скорости при нахождении кинетической энергии, а также оставшуюся сжатой из-за предварительного натяжения часть пружины, имеет вид \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m_0(l - L)(8l + 7L)}{20k_0L_0^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l\,(8l + 7L)}{10(l - L)g}},\] где \(m_0\) — масса всей пружины, \(L_0\) — длина всей пружины в нерастянутом состоянии, \(l\) — длина подвешенной части в нерастянутом состоянии, \(L\) — длина нерастянутой (сжатой) части, \(\Delta l\) — удлинение пружины. Оно совпадает с экспериментом при \(k_0\), определённом из статического удлинения пружины, с относительной погрешностью не более \(1\%\); приближённое соотношение для \(T(l)\) расходится с экспериментом не более чем на \(15\%\).