Тело на вибрирующей плоскости

Относительно плоскости тело движется под углом к линии наибыстрейшего спуска. Какая сила трения компенсирует составляющую силы тяжести вдоль плоскости?

Пусть установившаяся скорость тела \(v_0\) направлена вниз вдоль плоскости. Относительно плоскости тело движется под некоторым углом \(\beta\) к направлению наибыстрейшего спуска (в течение половины периода в одну сторону, в течение другой половины — в другую). Сила трения, действующая на тело со стороны плоскости, противоположна скорости тела относительно плоскости, поэтому она направлена под углом \(\beta\) к направлению наибыстрейшего спуска, но вверх.

В установившемся режиме проекция силы трения на направление наибыстрейшего спуска компенсирует составляющую силы тяжести вдоль плоскости \(mg\sin\alpha\): \[\mu mg\cos\alpha\cos\beta=mg\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\cos\beta=\frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mu}.\] Поскольку \(\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{v}{v_0}\), то, используя \(\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}\), получаем \[v_0=\frac{v\,\mathrm{tg}\,\alpha}{\sqrt{\mu^2-\mathrm{tg}^2\alpha}}.\]