Заряженный квадрат и рычаг с зарядами

Момент определяется разностью проекций сил на направление, перпендикулярное рычагу. Удобно заменить действие квадрата действием полосок с зарядами, компенсирующими сдвиг квадрата, и выразить силу через потенциал.

Момент сил, действующих на рычаг, определяется разностью проекций кулоновских сил, действующих на заряды, на направление, перпендикулярное рычагу. Будем искать сразу эту разность.

На первый заряд со стороны квадрата (рис. 1) действует такая же сила, как если бы заряд лежал на продолжении диагонали, но на квадрат были бы наложены две заряженные полоски шириной \(r/2\) — одна с положительным зарядом, вторая с отрицательным, с той же поверхностной плотностью, что и квадрат (рис. 2; заряд квадрата и заряды рычага считаем положительными). Это связано с тем, что добавление таких полосок к сдвинутому квадрату восстанавливает его положение, сдвинутое относительно первого заряда. Аналогично для второго заряда рычага (рис. 3).

Поэтому разность сил, действующих на заряды рычага со стороны квадрата, равна силе, действующей на один положительный заряд \(q_0\) со стороны двух тонких полосок шириной \(r\), заряженных положительным и отрицательным зарядом с той же поверхностной плотностью, что и квадрат (рис. 4). При этом в момент сил дает вклад только проекция этой силы на направление, перпендикулярное самому рычагу.

Чтобы найти эту силу, используем то, что проекция напряженности поля на некоторое направление равна разности потенциалов в двух близких точках, деленной на расстояние между ними. Потенциал полосок в точке, лежащей на \(x/2\) выше точки с зарядом \(q_0\), равен потенциалу в самой точке, создаваемому полосками и четырьмя квадратиками шириной \(r\) и высотой \(x/2\) со знаками, показанными на рис. 6 (добавление таких зарядов эквивалентно сдвигу полосок). Аналогично для точки на \(x/2\) ниже. Разность этих потенциалов равна потенциалу четырех квадратиков шириной \(r\) и высотой \(x\), лежащих в углах квадрата, со знаками, показанными на рис. 6 (рис. 5).

Поскольку размер \(r\) много меньше расстояния до квадрата, а \(x\) — бесконечно малая величина, эти квадратики можно считать точечными зарядами. Их величина \[\Delta q=\sigma\,x\,r=\frac{xrQ}{a^2}.\] Таким образом, разность проекций на вертикальную ось кулоновских сил, действующих на заряды рычага, \[F_{1x}-F_{2x}=kq_0\,\Delta q\left(\frac{1}{\sqrt2\,a}+\frac{1}{2\sqrt2\,a}-\frac{1}{\sqrt5\,a}-\frac{1}{\sqrt5\,a}\right)=\frac{kq_0rQ}{a^3}\left(\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{2}{\sqrt5}\right).\]

В результате момент сил, действующих на рычаг со стороны квадрата, \[M=\left(F_{1x}-F_{2x}\right)\frac{r}{2}=\frac{kq_0r^2Q}{2a^3}\left(\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{2}{\sqrt5}\right).\]