Соленоид и виток

Подсказка

Снаружи длинный тонкий соленоид действует как два магнитных «заряда» на концах: поток поля внутри него целиком выходит из головки и целиком входит в хвост. Силу на соленоид найдите как силу на виток в поле точечного полюса, а ток в витке при движении — через ЭДС индукции, считая поток через виток от двух полюсов.

Ответ

a) \(F_1=\dfrac{\mu_0 N I A\,\mathcal E}{2\ell R r}\), сила направлена вдоль \(+z\) (виток и соленоид притягиваются); \(\vec F_2=-\vec F_1\), то есть вдоль \(-z\) и той же величины;  b) \(J(t)=\dfrac{\mathcal E}{R}-\dfrac{v\mu_0NIA}{2R\ell}\left[\dfrac{r^2}{(z_1^2+r^2)^{3/2}}-\dfrac{r^2}{(z_2^2+r^2)^{3/2}}\right]\), где \(z_{1,2}=\pm\ell/2+vt\) — координаты концов соленоида; график: ток почти равен \(\mathcal E/R\), кроме двух коротких (длительностью порядка \(r/v\)) выбросов: сначала провал до \(J_{\min}\approx\dfrac{\mathcal E}{R}-\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}\) при \(t=-\dfrac{\ell}{2v}\), затем пик до \(J_{\max}\approx\dfrac{\mathcal E}{R}+\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}\) при \(t=+\dfrac{\ell}{2v}\); \(J-\mathcal E/R\) — нечётная функция времени.

Решение

Что происходит. Вне длинного тонкого соленоида магнитное поле безвихревое и не имеет источников — точно так же устроено электрическое поле вне зарядов. Поэтому снаружи соленоид неотличим от двух магнитных «зарядов» — полюсов на концах: из головки \(O_1\) выходит, а в хвост \(O_2\) входит весь поток \(\Phi_0\), идущий внутри соленоида. Это и есть главная идея: поле полюса точечное и радиальное, как поле заряда. Сила на соленоид по третьему закону Ньютона равна и противоположна силе на виток, а силу на виток в радиальном поле полюса, стоящего в его центре, считаем сразу: она одинакова на всех элементах. В части b) ток в витке меняется из-за ЭДС индукции, а её находим по потоку поля двух полюсов через виток — он выражается через телесный угол, под которым виток виден из полюса.

Обозначения. Ось \(z\) — ось витка, начало в центре витка \(O\). Ток в витке — \(J\); пока ничего не движется, потока через виток нет, ЭДС индукции нет и \(J=\mathcal E/R\). Поле внутри соленоида \(B_{\text{в}}=\mu_0NI/\ell\), поток через его сечение \[\Phi_0=B_{\text{в}}A=\frac{\mu_0 N I A}{\ell}.\] Полюса: «С» — у головки \(O_1\) (поток выходит), «Ю» — у хвоста \(O_2\) (поток входит). Размер области, откуда выходит поток, порядка \(\sqrt A\ll r\), поэтому полюс считаем точкой.

Рис. 2. Поле тонкого соленоида: внутри оно однородно, снаружи — как у двух полюсов; линии выходят из «С» (головка \(O_1\)) и входят в «Ю» (хвост \(O_2\)).

a) Силы на соленоид. Окружим головку маленькой сферой. Поток через неё равен \(\Phi_0\), а поле точечного полюса по симметрии радиально и зависит только от расстояния \(\rho\) до него; значит, \(B(\rho)\cdot4\pi\rho^2=\Phi_0\): \[B(\rho)=\frac{\Phi_0}{4\pi\rho^2}=\frac{\mu_0NIA}{4\pi\ell\rho^2}.\] Поле второго полюса (хвоста) у центра витка не учитываем: оно слабее в \((r/\ell)^2\ll1\) раз, потому что хвост лежит на расстоянии \(\ell\gg r\).

Пусть головка \(O_1\) в центре витка. Все элементы витка находятся на расстоянии \(\rho=r\) от полюса, поле на них направлено радиально наружу, то есть лежит в плоскости витка и перпендикулярно проводу. Тогда сила Ампера на элемент провода \(d\ell\) с током \(J=\mathcal E/R\) по модулю равна \(dF=J\,B(r)\,d\ell\) и направлена перпендикулярно плоскости витка, вдоль оси \(z\). Для всех элементов направление одно и то же, поэтому силы складываются арифметически: \[F_{\text{виток}}=J\,B(r)\cdot2\pi r=\frac{\mathcal E}{R}\cdot\frac{\mu_0NIA}{4\pi\ell r^2}\cdot2\pi r=\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr}.\] По третьему закону Ньютона такая же по модулю сила действует на соленоид.

Направление найдём из того, что токи сонаправлены, а параллельные токи притягиваются. При \(O_1\) в центре витка весь соленоид лежит слева от плоскости витка, значит, его витки притягиваются к этой плоскости, то есть сила на соленоид направлена вдоль \(+z\) (рис. 3 а). Тот же знак даёт сила Ампера. Поле витка в центре и поле внутри соленоида направлены вдоль \(+z\) (головка — северный полюс), поэтому ток в верхнем проводе направлен к нам (\(\odot\) на рис. 3). Поле полюса там направлено вверх, и \(J\,d\vec\ell\times\vec B\) смотрит влево, вдоль \(-z\): сила на виток отрицательна, а на соленоид положительна.

Теперь хвост \(O_2\) в центре витка. Соленоид лежит справа от плоскости, его витки притягиваются к ней влево. Поле южного полюса направлено радиально внутрь, поэтому сила на каждый элемент витка поменяла знак и направлена вдоль \(+z\), а на соленоид — вдоль \(-z\) (рис. 3 б). Модуль тот же, потому что поле южного полюса отличается только знаком: \[F_1=\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr}\ \ (\text{вдоль }+z),\qquad \vec F_2=-\vec F_1.\]

Рис. 3. Разрез плоскостью, содержащей ось \(z\): провод витка виден в двух точках, ток сверху направлен к нам (\(\odot\)), снизу — от нас (\(\otimes\)). а) Головка в центре, поле радиально наружу; б) хвост в центре, поле радиально внутрь.

Проверка вторым способом. Разобьём соленоид на короткие отрезки длины \(dz\); у каждого магнитный момент \(dm=\dfrac{NIA}{\ell}\,dz\) направлен вдоль \(z\), а сила на магнитный момент вдоль оси равна \(dm\,\dfrac{dB_z}{dz}\), где \(B_z(z)=\dfrac{\mu_0}{2}\dfrac{\mathcal E}{R}\dfrac{r^2}{(z^2+r^2)^{3/2}}\) — поле витка на его оси (закон Био — Савара). Для головки в центре соленоид занимает \(-\ell<z<0\): \[F_1=\frac{NIA}{\ell}\bigl[B_z(0)-B_z(-\ell)\bigr]=\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr}\left[1-\frac{r^3}{(\ell^2+r^2)^{3/2}}\right]\approx\frac{\mu_0NIA\,\mathcal E}{2\ell Rr},\] поправка порядка \((r/\ell)^3\). Результат тот же. Размерность: \(\mu_0 I\mathcal E/R\) имеет размерность силы, а множитель \(NA/(\ell r)\) безразмерен.

b) Ток в витке при движении соленоида. Закон Ома для витка с батареей и ЭДС индукции, самоиндукцией пренебрегаем: \[J=\frac{\mathcal E+\mathcal E_{\text{инд}}}{R},\qquad \mathcal E_{\text{инд}}=-\frac{d\Phi}{dt},\] где \(\Phi\) — поток поля соленоида через виток; положительным считаем поток в том направлении, в котором создаёт поле сам ток \(J>0\). Токи в соленоиде и в витке сонаправлены, поэтому внутри соленоида на оси поток положителен.

Поток одного полюса через виток. Из полюса, лежащего на оси на расстоянии \(|z|\) от плоскости витка, виден круг радиуса \(r\) под телесным углом \(\omega=2\pi(1-\cos\alpha)\), где \(\cos\alpha=|z|/\sqrt{z^2+r^2}\) (рис. 4). Полюс излучает поток \(\Phi_0\) равномерно по всем направлениям, значит, через круг идёт доля \(\omega/4\pi\) этого потока: \[\Phi_{\text{п}}=\frac{\Phi_0}{2}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^2+r^2}}\right).\]

Рис. 4. Полюс «С» на расстоянии \(z\) от плоскости витка радиуса \(r\): через круг проходят линии поля (бирюзовые), попадающие в конус с полууглом \(\alpha\).

Введём \(f(z)=\dfrac{z}{\sqrt{z^2+r^2}}\) и координаты концов соленоида: головка \(z_1=\ell/2+vt\), хвост \(z_2=-\ell/2+vt\) (начало отсчёта времени — когда центр соленоида в центре витка). Сложим вклады полюсов в разных положениях:

• оба конца слева от плоскости (\(z_1<0\)): головка даёт в \(+z\) поток \(\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1+f(z_1)\bigr)\), а в хвост поток втекает со стороны плоскости, то есть через виток идёт в \(-z\): вклад хвоста \(-\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1+f(z_2)\bigr)\); сумма \(\frac{\Phi_0}{2}\bigl(f(z_1)-f(z_2)\bigr)\);

• соленоид пересекает плоскость (\(z_2<0<z_1\)): вклад головки \(-\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1-f(z_1)\bigr)\), хвоста \(-\frac{\Phi_0}{2}\bigl(1+f(z_2)\bigr)\), и ещё весь поток \(\Phi_0\) внутри соленоида проходит через круг; сумма снова \(\frac{\Phi_0}{2}\bigl(f(z_1)-f(z_2)\bigr)\);

• оба конца справа — так же.

Получилась одна формула для любого момента: \[\Phi(t)=\frac{\Phi_0}{2}\bigl[f(z_1)-f(z_2)\bigr]=\frac{\mu_0NIA}{2\ell}\left[\frac{z_1}{\sqrt{z_1^2+r^2}}-\frac{z_2}{\sqrt{z_2^2+r^2}}\right].\] Поток чётная функция времени: он плавно растёт от нуля, при \(t=-\ell/2v\) (головка в плоскости витка) равен \(\approx\Phi_0/2\), затем почти постоянен (\(\approx\Phi_0\), пока виток далеко от концов), потом симметрично убывает (рис. 5).

Рис. 5. Три характерных момента движения (разрез, \(\ell=5r\)): головка в плоскости витка, виток посередине соленоида, хвост в плоскости витка.

Рис. 6. Поток поля соленоида через виток (рассчитано для \(\ell=5r\)): при \(\ell\gg r\) плато приближается к \(\Phi_0\).

Дифференцируем: \(f'(z)=\dfrac{r^2}{(z^2+r^2)^{3/2}}\), а \(\dot z_1=\dot z_2=v\), поэтому \[\mathcal E_{\text{инд}}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{v\mu_0NIA}{2\ell}\left[\frac{r^2}{(z_1^2+r^2)^{3/2}}-\frac{r^2}{(z_2^2+r^2)^{3/2}}\right],\] \[J(t)=\frac{\mathcal E}{R}-\frac{v\mu_0NIA}{2R\ell}\left[\frac{r^2}{(z_1^2+r^2)^{3/2}}-\frac{r^2}{(z_2^2+r^2)^{3/2}}\right].\]

Разберём, как ведёт себя эта функция, и по этому построим график.

• \(|t|\ll\ell/2v\): оба конца далеко от плоскости витка (на расстоянии порядка \(\ell/2\gg r\)), оба слагаемых в скобке малы и почти равны, поэтому \(J\approx\mathcal E/R\).

• \(|t|\gg\ell/2v\): соленоид далеко, поле у витка — как от диполя и убывает как \(t^{-3}\), поток и ЭДС убывают ещё быстрее (\(\mathcal E_{\text{инд}}\propto t^{-4}\)), поэтому \(J\to\mathcal E/R\).

• \(t\approx-\ell/2v\): головка проходит плоскость витка, \(z_1\approx0\); первое слагаемое в скобке достигает максимума \(1/r\), второе (хвост далеко: \(z_2\approx-\ell\)) ничтожно, и ток минимален: \[J_{\min}\approx\frac{\mathcal E}{R}-\frac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}.\] Этот провал узкий: слагаемое меняется заметно, когда \(z_1=\ell/2+vt\) меняется на \(r\), то есть за время порядка \(r/v\).

• \(t\approx+\ell/2v\): теперь \(z_2\approx0\), и второе слагаемое даёт максимум, а ток максимален: \[J_{\max}\approx\frac{\mathcal E}{R}+\frac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}.\] Ширина пика тоже порядка \(r/v\), а от провала он отстоит на время \(\ell/v\).

Так как \(\Phi(t)\) чётна, \(\dot\Phi\) нечётна, и \(J-\mathcal E/R\) — нечётная функция \(t\): провал при \(t<0\) (поток растёт, ЭДС индукции мешает ему расти и уменьшает ток) и пик при \(t>0\) (поток убывает, ЭДС индукции поддерживает ток). Построенный по формуле график для \(\ell=5r\) — на рис. 7 (по вертикали взято \(\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}=0{,}4\,\dfrac{\mathcal E}{R}\), чтобы было видно; на экстремумах точное значение чуть меньше приближённого, на множитель \(1-O\!\left((r/\ell)^3\right)\)).

Рис. 7. Ток в витке: плавная кривая без разрывов; \(J_{\min}\) и \(J_{\max}\) отличаются от \(\mathcal E/R\) на \(\dfrac{v\mu_0NIA}{2Rr\ell}\), длительность провала и пика — порядка \(r/v\), расстояние между ними — \(\ell/v\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\mu_0NI}{\ell}\) — индукция \(B\), поэтому \(\dfrac{v\mu_0NIA}{r\ell}\) имеет размерность \(B\cdot A\cdot v/r=\text{Тл}\cdot\text{м}^2/\text{с}=\text{В}\) — это ЭДС. Предел \(v\to0\) даёт \(J=\mathcal E/R\) — без движения нет индукции. Второй способ для высоты пика: при головке в плоскости витка виток пересекает радиальное поле полюса со скоростью \(v\), ЭДС движения \(\mathcal E_{\text{инд}}=v\,B(r)\cdot2\pi r=\dfrac{v\mu_0NIA}{2\ell r}\), как и в формуле. Связь с частью a): \(F_1v=\mathcal E_{\text{инд}}\,\dfrac{\mathcal E}{R}\) — это одна и та же взаимная индуктивность \(L_{12}\) витка и соленоида: сила равна \(I\,J\,dL_{12}/dz\), ЭДС индукции в витке равна \(-I\,v\,dL_{12}/dz\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.