Кошачьи глаза

Подсказка

Лампа далеко, поэтому линза собирает её свет в точку почти в фокальной плоскости, а лист чуть дальше — на нём получается яркое пятно, в которое собран весь свет, упавший на линзу. Яркость пятна на графике даёт его размер, а значит, и положение листа. Изображение пятна в линзе видно камере как круг того же углового размера, что и линза, и смещённый на величину, пропорциональную \(h\).

Ответ

\(h\approx85\) мм (около \(8\)–\(9\) см): отношение яркости изображения пятна к яркости листа \(1/k=10^{4{,}41-1{,}96}\approx280\) даёт расстояние до листа \(d_0\approx59\) мм и расстояние до изображения пятна \(d_S\approx0{,}82\) м; по смещению круга изображения относительно апертуры, \(d_{\text{ср}}/D'=96/212\), находим \(h=\dfrac{d_{\text{ср}}}{D'}D\,\dfrac{L-d_0-d_S}{d_S}\).

Решение

Что происходит. Лампа далеко (\(L\gg f\)), поэтому линза собирает её свет почти в точку чуть дальше фокальной плоскости. Лист стоит ещё чуть дальше, и на нём получается яркое пятно диаметра \(D_{BS}\ll D\), в которое собран весь свет, упавший на линзу. Камера смотрит через линзу на лист и видит в линзе изображение этого пятна. Из его яркости — она в \(1/k\) раз выше яркости остального листа, где \(k=(D_{BS}/D)^2\) — находим размер пятна и положение листа, а значит, и расстояние от линзы до изображения пятна. Дальше главная геометрия: изображение пятна — сечение конуса «лампа — линза», поэтому камере оно кажется кругом того же размера, что линза, и смещённым относительно линзы пропорционально \(h\). Смещение читаем по графику.

Обозначения. \(L_1=L-d_0\) — расстояние от линзы до камеры и до лампы (камера и лампа почти в одной точке, \(h\ll L\)); \(d_0\) — расстояние от линзы до листа; \(b\) — расстояние от линзы до изображения лампы; \(d_S\) — расстояние от линзы до изображения пятна на листе; \(D_{BS}\) — диаметр пятна на листе; \(x\) — координата в пикселях вдоль красной линии; \(D'\) — диаметр апертуры линзы на графике (в пикселях), \(d_{\text{ср}}\) — смещение изображения пятна относительно апертуры.

1. Что показывает график. Отсчёты сняты с графика условия по точкам кривой: масштаб найден по линиям сетки (\(x=0,100,\dots,500\) и \(\lg I=1{,}5;\,2;\dots;4{,}5\)), уровни — медиана кривой на плоском участке. На графике четыре уровня (рис. 4).

• \(\lg I\approx4{,}41\), \(122\lesssim x\lesssim238\): самая яркая область — изображение пятна на листе. Левый край размытый (\(x\) от 100 до 140): камера сфокусирована на линзу, а изображение пятна находится далеко от линзы, поэтому его края нерезкие.

• \(\lg I\approx3{,}34\), \(26\lesssim x\lesssim122\): «серп» — часть апертуры линзы вне изображения пятна. Здесь через линзу виден лист вне пятна, он должен быть тёмным, так как линза не пропускает к нему свет, но в неидеальной линзе свет от яркого пятна рассеивается по стёклам и добавляет фон, уровень \(10^{3{,}34}\).

• \(\lg I<1{,}6\) (\(x<20\) и \(250<x<410\), минимум \(1{,}33\)): чёрная краска внутри оправы.

• \(\lg I\approx1{,}96\), \(x>420\): лист вне линзы, освещённый лампой напрямую, интенсивность \(I_{\text{л}}\).

Край размытой ступеньки — там, где интенсивность прошла половину пути между уровнями в линейной шкале: размытие складывает интенсивности, а не их логарифмы. Так, у края пятна половина — \(\tfrac12(10^{3{,}34}+10^{4{,}41})=10^{4{,}14}\), и кривая проходит этот уровень при \(x=122\). Так же находим края апертуры: нижний — \(x=26\), верхний — \(x=238\), значит, \(D'=212\) пикселей (соответствуют \(D=39\) мм). Изображение пятна — круг того же диаметра (это докажем ниже), и его нижний край лежит на \(x=122\); сдвиг краёв двух равных кругов равен сдвигу центров, поэтому \[d_{\text{ср}}=122-26=96\ \text{пикселей},\qquad \frac{d_{\text{ср}}}{D'}=\frac{96}{212}\approx0{,}453 .\]

Рис. 4. Что видно в линзе вдоль красной линии: сплошной круг — апертура (серым залит серп), пунктир — круг изображения пятна (в пересечении самый яркий уровень); ниже — график \(\lg I(x)\), перенесённый по точкам кривой рис. 3, с найденными краями и уровнями.

2. Яркость пятна и размер пятна. Весь свет, упавший на линзу (площадь \(\propto D^2\)), собран в пятне (площадь \(\propto D_{BS}^2\)). Освещённость листа около линзы везде одна и та же, потому что \(L\gg f\) и \(d_0\) порядка \(f\). Лист рассеивает свет одинаково по всем направлениям, и его яркость пропорциональна освещённости, значит, в пятне она выше в \(D^2/D_{BS}^2=1/k\) раз. Идеальная линза даёт изображение той же яркости, а освещённость пикселя камеры от протяжённого предмета пропорциональна его яркости и не зависит от расстояния (поток от предмета в объектив убывает как \(\ell^{-2}\), и площадь его изображения на матрице — тоже как \(\ell^{-2}\)). Поэтому отношение интенсивностей на графике — это \(1/k\): \[\frac1k=\frac{I_{\text{ярк}}}{I_{\text{л}}}=10^{4{,}41-1{,}96}=10^{2{,}45}\approx280,\qquad \sqrt k=\frac{D_{BS}}{D}\approx0{,}0598 .\]

Рис. 5. Пучок за линзой в масштабе (\(D=39\) мм, \(f=55\) мм, \(d_0=59\) мм); справа — окрестность листа, увеличенная в 8 раз: лучи от лампы по краям линзы \(A\), \(B\) сходятся в изображении лампы \(S'\) почти в фокальной плоскости (\(b-f\approx0{,}6\) мм) и расходятся до листа; на листе — пятно диаметра \(D_{BS}\approx2{,}3\) мм.

3. Расстояние до листа. Изображение лампы лежит на расстоянии \(b\) от линзы: \[\frac1b=\frac1f-\frac1{L_1}\ \Rightarrow\ b=\frac{fL_1}{L_1-f}\approx55{,}65\ \text{мм},\] то есть почти в фокальной плоскости (\(b-f\approx f^2/L\approx0{,}6\) мм). Узкий пучок диаметром \(D\) у линзы сходится в точку на расстоянии \(b\) и расходится дальше; на листе, стоящем на расстоянии \(d_0>b\), его диаметр \[D_{BS}=D\,\frac{d_0-b}{b}\ \Rightarrow\ \sqrt k=\frac{d_0-b}{b},\qquad d_0=b\,(1+\sqrt k)\approx58{,}97\ \text{мм}.\] Второй корень, \(b(1-\sqrt k)\approx52{,}3\) мм, меньше \(f\) и отвечает листу ближе фокальной плоскости; по рис. 2 лист дальше, значит, он отбрасывается. Итак, \(d_0\approx59\) мм, \(d_0-f\approx4\) мм — лист лишь чуть дальше фокуса, а пятно на нём \(D_{BS}=\sqrt k\,D\approx2{,}3\) мм (рис. 5 — в масштабе).

4. Изображение пятна. Пятно на листе — предмет на расстоянии \(d_0\) от линзы. Формула линзы \(\dfrac1{d_S}=\dfrac1f-\dfrac1{d_0}\) даёт расстояние до его изображения: \[d_S=\frac{d_0f}{d_0-f}\approx\frac{58{,}97\cdot55}{3{,}97}\approx817\ \text{мм}\approx0{,}82\ \text{м}.\] Это меньше \(L_1\approx4{,}74\) м: изображение пятна — между линзой и камерой, и камера видит его на расстоянии \(L_1-d_S\approx3{,}92\) м.

5. Угловой размер изображения. Докажем, что камера видит изображение пятна под тем же углом, что и линзу (рис. 6). Лучи \(SA\) и \(SB\) от лампы \(S\) через края линзы после линзы идут к краям пятна \(G\) и \(F\) на листе. По обратимости хода лучей луч \(FB\) после линзы идёт к лампе \(S\), то есть изображение точки \(F\) лежит на прямой \(BS\); оно лежит и на прямой \(FO\) (луч через центр линзы \(O\) не преломляется). Значит, изображение \(J\) точки \(F\) — пересечение прямых \(FO\) и \(BS\); аналогично изображение \(H\) точки \(G\) — пересечение \(GO\) и \(AS\). Тогда отрезок \(HJ\) — сечение конуса с вершиной \(S\) и основанием \(AB\) плоскостью, удалённой от линзы на \(d_S\). Из вершины конуса отрезок \(HJ\) и линза видны под одним углом: \[\frac{D_I}{L_1-d_S}=\frac{D}{L_1},\] где \(D_I\) — диаметр изображения пятна. Камера \(K\) отстоит от лампы \(S\) на \(h\ll L_1\), поэтому она видит то же самое с высокой точностью. Обратите внимание: по этому размеру расстояние \(d_0\) определить нельзя — изображение пятна на фото всегда того же размера, что и апертура; нужна именно яркость.

Рис. 6. Построение изображения пятна \(FG\) (рисунок не в масштабе; взяты \(d_0=1{,}25f\), \(L_1=10f\), чтобы построения были различимы): \(J\) и \(H\) — изображения \(F\) и \(G\), они лежат на лучах \(BS\) и \(AS\) и на лучах \(FO\) и \(GO\); \(K\) — камера, \(S\) — лампа на расстоянии \(h\) от неё.

6. Смещение изображения. Центр пятна на листе лежит на прямой, проходящей через лампу \(S\) и центр линзы \(O\) (луч через центр идёт без излома). Изображение пятна тоже лежит на этой прямой, на расстоянии \(d_S\) от линзы, со стороны лампы, и потому поднято над осью линзы (осью камеры) на \(h'=h\,d_S/L_1\). Камера на оси видит центр линзы в направлении оси, а центр изображения пятна — под углом \[\theta=\frac{h'}{L_1-d_S}=\frac{h\,d_S}{L_1(L_1-d_S)} .\] Угловой диаметр линзы \(\theta_L=D/L_1\). На фото круг изображения пятна и апертура — два равных круга, поэтому отношение сдвига центров к диаметру апертуры равно отношению углов: \[\frac{\theta}{\theta_L}=\frac{h\,d_S}{D\,(L_1-d_S)}=\frac{d_{\text{ср}}}{D'} .\] Отсюда \[h=\frac{d_{\text{ср}}}{D'}\,D\,\frac{L_1-d_S}{d_S}=\frac{96}{212}\cdot39\ \text{мм}\cdot\frac{4741-817}{817}\approx0{,}453\cdot39\cdot4{,}80\ \text{мм}\approx85\ \text{мм}.\] Ответ: \(h\approx85\) мм, то есть около \(8\)–\(9\) см. Чувствительность: сдвиг любого края на \(\pm2\) пикселя меняет \(h\) на \(\pm2\) мм; ошибка \(\pm0{,}05\) в разности уровней \(\lg I\) — примерно на \(\pm5\,\%\). Сильнее всего ответ зависит от того, как понимать «край»: если брать края посередине между уровнями в логарифмической шкале (\(x=20\), \(113\), \(249\)), получится \(h\approx76\) мм. Официальное решение снимает отсчёты на глаз (\(x=30\), \(120\), \(240\); уровни \(4{,}4\) и \(1{,}95\)) и получает \(h\approx80\) мм. Все эти значения отличаются от \(85\) мм не больше чем на \(11\,\%\) — в пределах требуемых \(20\,\%\).

Проверка. Размерность: \(h\) выражена через \(D\) и безразмерные отношения. Предел \(h\to0\): \(d_{\text{ср}}\to0\), круг изображения пятна совпадает с апертурой, и яркий свет заполняет линзу целиком — так и светятся «кошачьи глаза», когда лампа рядом с камерой. Второй способ: по формуле линзы \(\dfrac{L_1-d_S}{d_S}=\dfrac{L_1}{f}-\dfrac{L_1}{d_0}-1\) и \(\sqrt k\,\dfrac{L_1}{d_0}=\Bigl(\dfrac{d_0}{b}-1\Bigr)\dfrac{L_1}{d_0}=\dfrac{L_1}{f}-1-\dfrac{L_1}{d_0}\) — это одно и то же выражение, так что точно \(h=\dfrac{d_{\text{ср}}}{D'}\,D\sqrt k\,\dfrac{L_1}{d_0}=0{,}453\cdot39\cdot0{,}0598\cdot80{,}4\ \text{мм}\approx85\) мм — совпало: смещение пропорционально размеру пятна \(\sqrt k\), и \(d_S\) можно не вычислять. Обратите внимание на фон: если из яркости изображения пятна вычесть рассеянную составляющую \(10^{3{,}34}\), то \(1/k=(10^{4{,}41}-10^{3{,}34})/10^{1{,}96}\approx256\), \(d_S\approx0{,}79\) м и \(h\approx89\) мм — ответ изменился на \(4\,\%\), то есть метод устойчив.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.