Механический ускоритель

Единственная сила, действующая на \(P\), — натяжение вдоль нити, поэтому поперёк нити у \(P\) ускорения нет. А вдоль нити скорость \(P\) равна скорости \(u\), с которой скользит сама нить. Выразите поперечную скорость через угол, на который повернулась нить, и найдите этот угол к моменту, когда нить сойдёт с цилиндра.

\(v_{\max}=u\,(1+2\pi N)\); она достигается уже после схода нити с цилиндра, когда прямая нить перпендикулярна оси \(X\). К моменту схода скорость равна \(u\sqrt{1+(2\pi N)^2}\).

Что происходит. Нить гладкая и нерастяжима, поэтому тянущий конец заставляет всю нить скользить вдоль самой себя со скоростью \(u\). На тело \(P\) действует только натяжение, направленное вдоль нити, значит, поперёк нити его ускорение равно нулю. Отсюда главное: поперечная составляющая скорости \(P\) растёт пропорционально углу \(\varphi\), на который повернулась свободная часть нити. Нить сматывается с цилиндра и успевает повернуться на \(2\pi N\), поэтому к моменту схода поперечная скорость равна \(2\pi N u\). После схода прямая нить вращается вокруг своего конца, движущегося равномерно, и скорость \(P\) максимальна, когда скорость вращения направлена так же, как \(\vec u\).

Обозначения. Смотрим сверху вдоль оси цилиндра (рис. 2). \(O\) — центр цилиндра, \(R\) — его радиус, ось \(X\) направлена вправо, \(m\) — масса \(P\). Оба свободных конца нити выходят из нижней точки цилиндра по касательной вдоль \(X\); тянут правый конец \(Q\). Свободный участок со стороны \(P\) — отрезок длины \(l\) от точки касания \(T_P\) до \(P\); его направление повернулось на угол \(\varphi\) (против часовой стрелки) от начального, при этом радиус \(OT_P\) повернулся на тот же угол. Свободный участок со стороны \(Q\) имеет длину \(l_Q\) и выходит из точки \(T_Q\). Введём единичные векторы: \(\vec e_1\) — вдоль нити от цилиндра к \(P\), \(\vec e_2\) — перпендикулярно нити, по направлению \(\overrightarrow{OT_P}\). Оба вектора поворачиваются вместе с нитью: \[\dot{\vec e}_1=\dot\varphi\,\vec e_2,\qquad \dot{\vec e}_2=-\dot\varphi\,\vec e_1 .\] В начальный момент считаем, что \(P\) находится у цилиндра: \(l=0\), \(\varphi=0\). (Если вначале он на расстоянии \(d\) от точки касания, то сперва он равномерно приближается вдоль нити, \(l=d-ut\), \(\varphi=0\), а когда дойдёт до цилиндра, всё идёт так же.)

Рис. 2. Вид сверху в момент, когда нить повернулась на \(\varphi=130^\circ\): свободный участок \(T_PP\) касается цилиндра, участок \(T_QQ\) идёт вдоль \(X\). Справа — скорость \(P\): \(-u\vec e_1\) вдоль нити и \(v_\perp\vec e_2\) поперёк.

Часть 1. Нить на цилиндре.

1. Длина свободного участка. Конец \(Q\) движется вдоль \(X\), а участок \(T_QQ\) остаётся прямым и параллельным \(X\), значит, точка касания \(T_Q\) неподвижна, и участок удлиняется со скоростью \(u\): \(l_Q=ut\). Намотанная часть нити лежит между \(T_P\) и \(T_Q\). Когда направление свободного участка повернулось на \(\varphi\), точка \(T_P\) сместилась по цилиндру на дугу \(R\varphi\) и намотанная часть стала короче: \(W=2\pi RN-R\varphi\). Нить нерастяжима, сумма трёх частей постоянна и равна начальной длине намотанной части (в начале \(l=l_Q=0\)), рис. 3: \[l+W+l_Q=2\pi RN\quad\Rightarrow\quad l=R\varphi-ut .\]

Рис. 3. Нить как отрезок: в начале вся нить намотана; со временем свободные части \(l_P\) и \(l_Q\) растут, намотанная часть \(W\) убывает; сходит она при \(W=0\).

2. Скорость \(P\). Радиус-вектор тела \(\vec r_P=R\vec e_2+l\,\vec e_1\). Дифференцируем, учитывая правила для \(\dot{\vec e}_{1,2}\): \[\vec v=\dot{\vec r}_P=-R\dot\varphi\,\vec e_1+\dot l\,\vec e_1+l\dot\varphi\,\vec e_2=-u\,\vec e_1+v_\perp\vec e_2,\qquad v_\perp=l\dot\varphi ,\] так как \(\dot l-R\dot\varphi=-u\) по предыдущему пункту. Составляющая скорости вдоль нити равна \(-u\): тело приближается к точке касания со скоростью скольжения нити; поперечная составляющая \(v_\perp=l\dot\varphi\) — вращение нити вокруг точки касания.

3. Второй закон Ньютона для \(P\). Единственная сила — натяжение нити \(-T\vec e_1\) (оно направлено вдоль нити к цилиндру). Найдём ускорение: \[\vec a=\dot{\vec v}=-u\dot\varphi\,\vec e_2+\dot v_\perp\vec e_2-v_\perp\dot\varphi\,\vec e_1 .\] Проекция на \(\vec e_2\) равна нулю, потому что сила в этом направлении не действует: \[\dot v_\perp=u\dot\varphi\quad\Rightarrow\quad v_\perp=u\varphi ,\] в начале оба равны нулю. Проекция на \(\vec e_1\) даёт натяжение \(T=mv_\perp\dot\varphi\); оно положительно, нить остаётся натянутой.

4. Закон поворота. Из \(v_\perp=l\dot\varphi\) и \(v_\perp=u\varphi\) получаем \(l\dot\varphi=u\varphi\), а длину берём из пункта 1: \[(R\varphi-ut)\,\dot\varphi=u\varphi .\] В задаче нет другого масштаба времени, кроме \(R/u\), поэтому ищем решение вида \(\varphi=kt\): \((Rk-u)\,kt=ukt\), откуда \(k=2u/R\). Итак, \[\varphi=\frac{2u}{R}\,t,\qquad l=ut,\qquad v_\perp=\frac{2u^2}{R}\,t .\] Свободная часть со стороны \(P\) растёт с той же скоростью \(u\), что и со стороны \(Q\).

5. Момент схода. Нить сойдёт с цилиндра, когда намотанная часть исчезнет: \(W=2\pi RN-R\varphi=0\), то есть \(\varphi=2\pi N\) (для этого \(t_*=\pi NR/u\)). Тогда \[v_\perp=u\varphi=2\pi N u,\qquad v=\sqrt{u^2+v_\perp^2}=u\sqrt{1+(2\pi N)^2},\] а длины свободных участков \(l=l_Q=\pi NR\). Обратите внимание: это ещё не максимум — после схода тело продолжает двигаться, и его скорость растёт дальше.

Часть 2. Нить сошла с цилиндра. К моменту \(t_*\) направление нити повернулось на \(2\pi N\), то есть снова вдоль \(X\), и вся нить — прямая длины \(L=2\pi NR\) с концами \(P\) и \(Q\) на одной прямой, параллельной \(X\). Скорость \(P\): \(\vec v=-u\vec e_1+2\pi N u\,\vec e_2\), где теперь \(\vec e_1\) противоположен оси \(X\), а \(\vec e_2\) перпендикулярен ей. Перейдём в систему отсчёта, связанную с концом \(Q\): она движется равномерно со скоростью \(\vec u\) и потому инерциальна. В ней скорость \(P\) равна \(\vec w=2\pi N u\,\vec e_2\) — перпендикулярна нити. Натяжение направлено вдоль нити и работы не совершает, \(w\) остаётся постоянной, и \(P\) движется по окружности радиуса \(L\) вокруг \(Q\) с постоянной по модулю скоростью \(w=2\pi Nu\) (угловая скорость \(w/L=u/R\)).

В исходной системе \[\vec v=\vec u+\vec w ,\] где \(\vec u\) постоянен, а \(\vec w\) имеет постоянную длину и поворачивается. Модуль \(|\vec v|\) наибольший, когда \(\vec w\parallel\vec u\) (рис. 4), то есть когда нить перпендикулярна оси \(X\) (на четверть оборота позже схода, через \(\pi R/2u\)): \[v_{\max}=u+w=u\,(1+2\pi N).\]

Не помешает ли цилиндр? Поместим начало координат в центр \(O\), ось \(y\) — к цилиндру; в момент схода нить лежит на касательной \(y=-R\). Пусть после схода нить повернулась вокруг \(Q\) на угол \(\theta=ut'/R\) (\(t'\) — время после схода). Тогда \(Q=(\pi NR+R\theta,\,-R)\), \(P=Q+L(-\cos\theta,\,-\sin\theta)\). Пока \(0<\theta<\pi\), тело \(P\) ниже прямой \(y=-R\), и весь отрезок \(QP\) лежит по другую сторону касательной от цилиндра — задеть его нить не может. Максимум скорости (\(\theta=\pi/2\)) достигается именно на этом участке, так что цилиндр на ответ не влияет. Позже, почти через полный оборот (\(\theta\approx2\pi\)), прямая нить проходит снова у нижней точки цилиндра: расчёт расстояния от \(O\) до отрезка \(QP\) показывает, что при \(N<1{,}67\) она проходит мимо, а при больших \(N\) задевает цилиндр и начинает наматываться заново. Это уже новый процесс, за пределами задачи (официальное решение его тоже не рассматривает); на этапе разгона наибольшая скорость — \(u(1+2\pi N)\).

Рис. 4. Траектория \(P\) для \(N=1\): раскручивающаяся спираль \(A\to D\), затем дуга \(D\to M\), где нить прямая; \(A\) — начало, \(D\) — момент схода (нить лежит на прямой \(Q_DD\)), \(M\) — момент максимальной скорости \(\vec v_{\max}\).

Рис. 5. Модуль скорости \(P\) при \(N=1\): рост по закону \(v=u\sqrt{1+4u^2t^2/R^2}\) до схода, затем колебания \(v=u\sqrt{1+(2\pi N)^2+4\pi N\sin\theta}\) с максимумом \(u(1+2\pi N)\) и минимумом \(u\,\lvert1-2\pi N\rvert\), \(\theta\) — угол поворота нити после схода.

Проверка. При \(N=0\) получаем \(v_{\max}=u\) — тело просто тянут за нить со скоростью \(u\). Баланс энергии на первом этапе: работа тянущей силы \(\int Tu\,dt=mu\!\int v_\perp\dot\varphi\,dt=mu^2\varphi^2/2\) при \(\varphi=2\pi N\) равна \(m u^2(2\pi N)^2/2\), а кинетическая энергия выросла с \(mu^2/2\) до \(\tfrac12mu^2\bigl(1+(2\pi N)^2\bigr)\) — совпадает. Второй способ для \(v_\perp\): в системе, вращающейся вокруг оси цилиндра с угловой скоростью \(\omega=u/R\), намотанная часть нити неподвижна, натяжение работы не совершает, и для \(P\) сохраняется энергия с центробежным потенциалом: \(\tfrac12mv'^2=\tfrac12m\omega^2l^2\), то есть \(v'=\omega l=\pi Nu\) при \(l=\pi NR\). Поперечная составляющая в лабораторной системе — сумма \(v'\) и поперечной части скорости вращения \(\omega l\), то есть \(2\pi Nu\), как и выше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.