Заряд у проводящей плоскости

Действие проводящей плоскости на заряд эквивалентно действию зеркального заряда \(-Q\). Какую работу нужно совершить против его поля при перемещении заряда \(Q\)?

Со стороны проводящей плоскости на точечный заряд \(Q\) действует такая же сила, как со стороны точечного заряда \(-Q\), расположенного за плоскостью на таком же расстоянии, как и точечный заряд. Или (другими словами), на плоскости индуцируются такие заряды, поле которых совпадает с полем точечного заряда, расположенного за плоскостью на таком же расстоянии от него. А поскольку по условию в процессе перемещения точечного заряда \(Q\) заряды на плоскости не успевают перераспределиться, то необходимо совершить такую же работу, как при перемещении точечного заряда \(Q\) в поле покоящегося точечного заряда \(-Q\). А она, в свою очередь, равна изменению потенциальной энергии заряда \(Q\), перемещающегося из точки на расстоянии \(2d\) от покоящегося заряда \(-Q\), в точку на расстоянии \(\sqrt{(2d)^2+(2d)^2}=\sqrt{8}\,d\) от этого заряда. Поэтому необходимо совершить работу \[A=Q\left(\frac{kQ}{2d}-\frac{kQ}{\sqrt{8}\,d}\right)=\frac{kQ^2}{d}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\] (\(k\) — постоянная закона Кулона). После перераспределения зарядов на плоскости потенциальная энергия взаимодействия заряда и плоскости вернется к первоначальному значению. Поэтому вся совершенная работа выделится в виде теплоты: \[q=\frac{kQ^2}{d}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}.\]