Блок из двух дисков и два груза

Для невесомого блока суммарный момент сил равен нулю; свяжите силы натяжения нити по моментам, затем кинематическую связь ускорений через длину нити.

Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для обоих тел дает \[\begin{aligned} 3ma_1 &= 3mg+T_1+T_2 \\ ma_2 &= mg+T \end{aligned}\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тел с массами \(3m\) и \(m\) соответственно (остальные обозначения очевидны из рисунка). Или в проекциях на ось \(x\), направленную вертикально вниз, \[\begin{aligned} 3ma_{1x} &= 3mg+T_1-T_2 \\ ma_{2x} &= mg-T \end{aligned}\] Установим условия связи между неизвестными. Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы \(T_1\), направленные вверх, и сила \(T\), направленная вниз, то \(T=2T_1\). Верхний блок вращают силы \(T_2\) с плечом \(R/2\) и сила \(T_1\) с плечом \(R\). А поскольку он также не имеет массы, то его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому \(T_1R=T_2R/2\), откуда \(T_2=2T_1\). В результате система уравнений принимает вид \[\begin{aligned} 3ma_{1x} &= 3mg-T_1 \\ ma_{2x} &= mg-2T_1 \end{aligned}\] Найдем теперь связь ускорений. Во-первых, ясно, что ускорения тел будут направлены противоположно. Действительно, если тело \(3m\) опускается, то нить сматывается с маленького блока, но одновременно наматывается на большой блок. А поскольку блоки склеены, они поворачиваются на один и тот же угол, и на большой блок намотается больше веревки, и нижний блок поднимется. Поэтому если тело \(3m\) спустилось на \(\Delta l\), на большой блок намотается \(2\Delta l\), веревка станет короче на \(\Delta l\), нижний блок поднимется на \(\Delta l/2\). Следовательно, если ускорение тела \(3m\) равно \(a\) и направлено вниз, ускорение тела \(m\) равно \(a/2\) и направлено вверх. И наоборот. Поэтому \[a_{2x}=-\frac{a_{1x}}{2}.\] В результате система уравнений примет вид \[\begin{aligned} 3ma_{1x} &= 3mg-T_1 \\ \frac{ma_{1x}}{2} &= 2T_1-mg \end{aligned}\] Умножая первое уравнение системы на 2 и складывая уравнения, найдем, что ускорение тела с массой \(3m\) направлено вниз и равно \[a_1=\frac{10}{13}\,g,\] а ускорение тела с массой \(m\) направлено вверх и равно \[a_2=\frac{5}{13}\,g.\]