Торможение силой, пропорциональной v²

Запишите второй закон Ньютона через \(dv/dt\) и разделите переменные: величина \(1/v\) изменяется линейно со временем.

Обозначим силу сопротивления среды как \(F=\alpha v^2\). Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемого тела в проекциях на ось, направленную вдоль движения тела, дает \[\Delta v=-kv^2\,\Delta t,\] где \(k=\alpha/m\) (\(m\) — масса тела). Или \[-\frac{\Delta v}{v^2}=k\,\Delta t.\] Но величина в левой части есть приращение величины \(1/v\) (вместе со знаком), величина в правой части — приращение величины \(kt\). Поэтому приращение величины \(kt-1/v\) равно нулю, а, следовательно, сама величина в скобках есть постоянная \[kt-\frac{1}{v}=C.\] Используя это соотношение для двукратного уменьшения скорости, получим \[-\frac{1}{v}=kT-\frac{2}{v}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{1}{kv}.\] Поэтому для шестикратного (по сравнению с начальной скоростью) уменьшения скорости имеем \[kT-\frac{2}{v}=k\left(T+T_1\right)-\frac{6}{v}\quad\Rightarrow\quad T_1=\frac{4}{kv},\] где \(T_1\) — искомое время, через которое скорость тела уменьшилась еще в три раза. Отсюда получаем \[T_1=4T.\]