Цилиндр и куб на шероховатой плоскости

Условие отсутствия вращения цилиндра даёт равенство сил трения на его концах. Далее запишите второй закон Ньютона для цилиндра и куба по горизонтали и вертикали.

Очевидно, при больших значениях внешней силы цилиндр будет скользить по поверхности. Найдем минимальное значение внешней силы, при котором цилиндр еще не вращается. Поскольку рассматриваемая ситуация — пограничная, все силы трения равны своим максимальным значениям — \(\mu N\) (где \(N\) — сила реакции на соответствующей поверхности).

Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. На цилиндр действуют — сила тяжести, сила реакции поверхности, сила трения на поверхности, сила реакции со стороны куба, сила трения со стороны куба (силы реакции и трения, действующие на цилиндр, показаны на левом рисунке, на куб — на правом). Второй закон Ньютона для цилиндра в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси, а также для куба в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси дает \[\begin{aligned} ma &= N_1-\mu N \\ N &= mg+\mu N_1 \\ nma &= F-N_1-\mu N_2 \\ N_2 &= nmg-\mu N_1 \end{aligned}\] где \(n=2\). С другой стороны, поскольку цилиндр не вращается, сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю; поэтому \(F_{\text{тр},1}=F_{\text{тр}}\), откуда \(N_1=N\). В результате из первых двух уравнений находим \[a=g,\qquad N=N_1=\frac{mg}{1-\mu}.\] Поэтому из третьего и четвертого уравнений системы получаем \[F=nmg+N_1+\mu N_2=nma+N_1+\mu\left(nmg-N_1\right)=nmg\left(1+\mu\right)+N_1\left(1-\mu^2\right)=(n+1)mg\left(1+\mu\right).\] В первом варианте \(n=2\), поэтому минимальная сила, при которой цилиндр не проскальзывает по поверхности, есть \[F=3mg\left(1+\mu\right).\]