Длительность сигнала автомобиля

Для каждого датчика найдите, как меняется длительность сигнала: учтите, что автомобиль между излучением начала и конца сигнала успевает сместиться.

За время, прошедшее между началом и концом звукового сигнала, автомобиль приблизился к датчику, расположенному по направлению его движения, и удалился от противоположного. Поэтому «конец звукового сигнала» придет к датчику, расположенному по направлению движения автомобиля, быстрее, чем он был издан автомобилем, и позже ко второму датчику. Поэтому датчик, расположенный по движению автомобиля, зарегистрирует более короткий сигнал, второй датчик — более длинный. Найдем длительность этих сигналов.

Пусть длительность звукового сигнала в системе отсчета, связанной с автомобилем, равна \(\Delta\tau\), скорость автомобиля — \(v\), скорость звука — \(c\). Пусть, кроме того, автомобиль начал издавать звуковой сигнал, когда он находился на расстоянии \(x\) от датчика, расположенного по направлению движения автомобиля, и \(y\) — от датчика, расположенного противоположно направлению его движения. Тогда начало звукового сигнала будет зарегистрировано датчиками через интервалы времени \[t_{\text{по}}=\frac{x}{c},\qquad t_{\text{против}}=\frac{y}{c}\] после его излучения автомобилем. «Конец звукового сигнала» будет излучен, когда автомобиль будет находиться на расстоянии \(x+v\Delta\tau\) и \(y-v\Delta\tau\) от датчиков. Поэтому он придет к датчикам через интервалы времени \[t'_{\text{по}}=\frac{x-v\Delta\tau}{c},\qquad t'_{\text{против}}=\frac{y+v\Delta\tau}{c}\] после излучения. Поэтому датчик, расположенный по направлению движения автомобиля, зарегистрирует следующую длительность сигнала \[\Delta\tau_{\text{по}}=\Delta\tau+t'_{\text{по}}-t_{\text{по}} =\Delta\tau+\frac{x-v\Delta\tau}{c}-\frac{x}{c} =\Delta\tau\left(1-\frac{v}{c}\right),\] а датчик, расположенный против направления движения, следующую \[\Delta\tau_{\text{против}}=\Delta\tau+t'_{\text{против}}-t_{\text{против}} =\Delta\tau\left(1+\frac{v}{c}\right).\] Отсюда заключаем, что большую длительность \(1{,}05\,\Delta t\) зарегистрирует датчик, расположенный против направления движения: \(1{,}05\,\Delta t=\Delta\tau_{\text{против}}\), а меньшую длительность \(\Delta t\) — датчик, расположенный по направлению движения: \(\Delta t=\Delta\tau_{\text{по}}\). Также из этих формул следует, что \[0{,}05\,\Delta t=\Delta\tau_{\text{против}}-\Delta\tau_{\text{по}}=\frac{2v}{c}\Delta\tau \quad\text{и}\quad 2{,}05\,\Delta t=\Delta\tau_{\text{против}}+\Delta\tau_{\text{по}}=2\Delta\tau.\] Поэтому \[v=\frac{\left(\Delta\tau_{\text{против}}-\Delta\tau_{\text{по}}\right)c}{\Delta\tau_{\text{против}}+\Delta\tau_{\text{по}}} =\frac{0{,}05}{2{,}05}\,c=0{,}024\,c=7{,}2\ \text{м/с}.\]