Радар-спидометр

Подсказка

Запишите законы движения импульса до и после отражения и найдите моменты возвращения двух соседних импульсов; для гармонической волны посчитайте так же интервал между гребнями, а биения возникают при сложении колебаний близких частот.

Ответ

1.3) \(\tau_1=\dfrac{(c+v)(c-u)}{(c-v)(c+u)}\,\tau\approx\left(1+2\dfrac{v-u}{c}\right)\tau\); 1.4) \(\dfrac{\Delta\tau}{\tau}=2\dfrac{v-u}{c}\sim2\cdot10^{-7}\); 2.1) \(\lambda_1=\dfrac{c-u}{c}\lambda_0\), \(\lambda_2=\dfrac{(c+v)(c-u)}{c-v}\,T_0\); 2.2) \(\nu_2=\dfrac{(c-v)(c+u)}{(c-u)(c+v)}\nu_0\), \(\dfrac{\nu_2-\nu_0}{\nu_0}\approx-2\dfrac{v-u}{c}\); 3.1) \(T_{\text{б}}=\dfrac{c}{|v-u|\,\nu_0}\); 3.2) \(|v-u|=\dfrac{c}{\nu_0T_{\text{б}}}\), это не мгновенная скорость; 3.3) \(T_{\text{б}}=7{,}2\cdot10^{-3}\text{ с}\), смещение порядка длины волны (\(\approx0{,}2\) м).

Решение

Часть 1. Импульсная локация.

1.1 Так как автомобили движутся равномерно, то законы их движения имеют вид

\[x_a(t) = x_0 + vt,\tag{1}\]

\[x_b(t) = ut.\tag{2}\]

1.2 Импульс номер \(k\) испущен в момент времени \(t_k^{(0)} = k\tau\) в точке с координатой \(x_k^{(0)} = uk\tau\). Закон движения импульса до отражения имеет вид

\[x_1(t) = x_k^{(0)} + c(t - t_k^{(0)}) = uk\tau + c(t - k\tau) = ct - (c - u)k\tau.\tag{3}\]

В момент отражения координаты импульса и автомобиля равны \(x_1(t) = x_a(t)\). Из этого условия находим время отражения

\[ct - (c - u)k\tau = x_0 + vt \quad \Rightarrow \quad t_k^{(1)} = \frac{x_0}{c - v} + \frac{c - u}{c - v}k\tau\tag{4}\]

И координату соответствующей точки

\[x_k^{(1)} = x_0 + vt_k^{(1)} = x_0 + v\left(\frac{x_0}{c - v} + \frac{c - u}{c - v}k\tau\right) = \frac{c}{c - v}x_0 + v\frac{c - u}{c - v}k\tau.\tag{5}\]

После отражения импульс движется в противоположном направлении по закону

\[x_2(t) = x_k^{(1)} - c(t - t_k^{(1)}) = \frac{c}{c - v}x_0 + v\frac{c - u}{c - v}k\tau - c\left(t - \frac{x_0}{c - v} - \frac{c - u}{c - v}k\tau\right)\]

\[= 2\frac{c}{c - v}x_0 + \frac{(c + v)(c - u)}{c - v}k\tau - ct\tag{6}\]

Для определения координаты первого автомобиля и момента времени, когда будет зарегистрирован отраженный сигнал, необходимо решить уравнение \(x_2(t) = x_b(t)\):

\[2\frac{c}{c - v}x_0 + \frac{(c + v)(c - u)}{c - v}k\tau - ct = ut \quad \Rightarrow\]

\[t_k^{(2)} = 2\frac{c}{(c - v)(c + u)}x_0 + \frac{(c + v)(c - u)}{(c - v)(c + u)}k\tau, \quad .\tag{7}\]

\[x_k^{(2)} = u\left(2\frac{c}{(c - v)(c + u)}x_0 + \frac{(c + v)(c - u)}{(c - v)(c + u)}k\tau\right)\]

Графики найденных законов движения автомобилей и импульсов показаны на рисунке.

1.3 Время между приходами двух последовательных импульсов

\[\tau_{1}=t_{k+1}^{(2)}-t_{k}^{(2)}=\frac{(c+v)(c-u)}{(c-v)(c+u)} \tau\tag{8}\]

При \(u, v \ll c\) выражение (8) упрощается

\[\tau_{1}=\frac{(c+v)(c-u)}{(c-v)(c+u)} \tau \approx\left(1+2 \frac{v-u}{c}\right) \tau .\tag{9}\]

1.4 Относительное изменение интервала между импульсами равно

\[\frac{\Delta \tau}{\tau}=2 \frac{v-u}{c}\tag{10}\]

Если разность скоростей составляет величину порядка \(30 \text{~м} / \text{с}\) ( т.е. около \(100 \text{~км} /\) час ), то относительное изменение интервала составляет \(2 \cdot 10^{-7}\), что, скорее всего, не может быть зарегистрировано.

Часть 2. Гармоническая локация.

2.1 За период одного колебания волна проходит расстояние, \(c T_{0}\), а автомобиль - \(u T_{0}\). Разность между этими расстояниями и будет равна длине распространяющейся волны

\[\lambda_{1}=c T_{0}-u T_{0}=(c-u) \frac{\lambda_{0}}{c} .\tag{11}\]

Время между отражениями двух максимумов волны от движущегося автомобиля можно рассчитать по формуле

\[T_{1}=\frac{\lambda_{1}}{c-v}=\frac{c-u}{c-v} \frac{\lambda_{0}}{c}=\frac{c-u}{c-v} T_{0} .\tag{12}\]

Длина отраженной волны рассчитывается по формуле аналогичной формуле (11)

\[\lambda_{2}=c T_{0}+u T_{0}=(c+u) T_{1}=(c+v) \frac{c-u}{c-v} T_{0} .\tag{13}\]

2.2 По аналогии с формулой (12) запишем интервал между приемами максимумов отраженной волны движущимся локатором

\[T_{2}=\frac{\lambda_{2}}{c+u}=\frac{c+v}{c+u} \cdot \frac{c-u}{c-v} T_{0} .\tag{14}\]

Следовательно, частота принятого сигнала равна

\[\nu_{2}=\frac{c-v}{c-u} \cdot \frac{c+u}{c+v} \nu_{0} \approx\left(1-2 \frac{v-u}{c}\right) \nu_{0}\tag{15}\]

Относительное изменение частоты определяется по формуле

\[\frac{\nu_{2}-\nu_{0}}{\nu_{0}}=-2 \frac{v-u}{c} \text{,}\tag{16}\]

Что совпадет с формулой (10), полученной в первой части.

Часть 3. Реальные измерения.

При сложении двух колебаний близких частот возникают биения, которые описываются функцией

\[u(t)=u_{0}(t)+u_{2}(t)=A \cos \omega_{0} t+A \cos \omega_{2} t=2 A \cos \left(\frac{\omega_{0}+\omega_{2}}{2} t\right) \cos \left(\frac{\omega_{0}-\omega_{2}}{2} t\right) \text{,}\tag{17}\]

Эта функция представляет собой произведение двух функция: быстроменяющейся со средней частотой и медленно меняющейся с частотой равной половине разности частот исходных колебаний.

Следовательно, можно считать, что медленно меняющаяся функция описывает изменение амплитуды колебаний

\[A_{\Sigma}(t)=2 A \cos \left(\frac{\omega_{0}-\omega_{2}}{2} t\right).\tag{18}\]

Схематический график результата сложения показан на рисунке.

Частота биений определяется по формуле

\[\omega_{\text{б}}=\left\vert \frac{\omega_{0}-\omega_{2}}{2}\right\vert =\pi\left(\nu_{0}-\nu_{2}\right)=2 \pi \frac{v-u}{c} \nu_{0},\tag{19}\]

а их период равен

\[T_{\text{б}}=\frac{2 \pi}{\omega_{\text{б}}}=\frac{c}{\vert v-u\vert } \frac{1}{\nu_{0}}.\tag{20}\]

3.2 Из формулы (20) следует, что относительная скорость движения автомобилей может быть рассчитана следующим образом

\[\vert v-u\vert =\frac{c}{\nu_{0} T_{\text{б}}}.\tag{21}\]

Эта скорость не является мгновенной, так как для измерения периода биений должно пройти время, по крайней мере, равное этому периоду. При указанных численных значениях параметров период биений равен

\[T_{\text{б}}=\frac{\lambda_{0}}{\vert v-u\vert }=\frac{0{,}20\,\text{м}}{100 \frac{10^{3}\,\text{м}}{3{,}6 \cdot 10^{3}\,\text{с}}}=7{,}2 \cdot 10^{-3}\,\text{с},\]

и может быть достаточно просто измерен.

3.3 Относительное смещение автомобилей равно примерно равно длине волны посылаемого сигнала.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.